Problemas de optimización

1Hallar los lados de los triángulos isósceles de 12 m de perímetro del que tomen área máxima.

2El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos diamantees formados sea mínima.

3Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por por el punto (1, 2) aquella que forma con la partes positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área mínima.

4Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.

5Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.

6Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

7Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

8Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

9Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

10Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.

11Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2 es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.

12Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.

13Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

14El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene dado por la función:

B(x)= 1.2x − (0.1x)3

donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.

1 Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.

2 El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.

15Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular:

1 La producción actual de la huerta.

2 La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.

3 La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.

4 ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima?

16Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del sector de mayor área.

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Ejercicio 1 resuelto

Hallar los lados de los triángulos isósceles de 12 m de perímetro del que tomen área máxima.

Triángulo

Ärea

2 x + 2 y = 12

x = 6 − y

Sustitución

Raíces de la derivada

Raíces de la derivada

Derivada 2ª

Derivada 2ª

Derivada 2ª

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.

Ejercicio 2 resuelto

El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos diamantees formados sea mínima.

Solución

Solución

Solución

El diamante se ha de dividir en dos partes iguales de 1 g.

Ejercicio 3 resuelto

Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por por el punto (1, 2) aquella que forma con la partes positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área mínima.

dibujo

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

m = 2, en este caso no se formaría un triángulo porque las coordenadas de A y B coinciden con el origen de coordenadas.

Solución

Ejercicio 4 resuelto

Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.

Solución

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Solución

Solución

Solución

Solución

Ejercicio 5 resuelto

Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.

Triángulo inscrito en un círculo

REsolución

REsolución

REsolución

REsolución

REsolución

REsolución

REsolución

Derivada segunda

Derivada segunda

Derivada segunda

Ejercicio 6 resuelto

Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

Triángulo

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Derivada segunda

Derivada segunda

Derivada segunda

Ejercicio 7 resuelto

Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Ejercicio 8 resuelto

Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

Solución

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Solución

Ejercicio 9 resuelto

Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

Solución

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Ejercicio 10 resuelto

Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.

dibujo

Solución

Al tener dos triángulos semejantes se cumple que:

Solución

Solución

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Ejercicio 11 resuelto

Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2 es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.

ortoedro

Solución

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Ejercicio 12 resuelto

Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.

Figura

Solución

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Solución

Ejercicio 13 resuelto

Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

Figura

Solución

Solución

Solución

Solución

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Ejercicio 14 resuelto

El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene dado por la función:

B(x)= 1.2x − (0.1x)3

donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.

1 Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.

2 El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.

Solución

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Ejercicio 15 resuelto

Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular:

1 La producción actual de la huerta.

Producción actual: 25 · 600 = 15 000 frutos.

2 La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.

Si se plantan x árboles más, la producción de cada árbol será: 600 − 15x.

3 La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.

P(x) = (25 + x)(600 − 15x) = −15 x2 + 225x + 1500

4 ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima?

P′(x) = − 0 x + 225 − 30x + 225 = 0 x = 7.5

P′′ (x) = −30 < 0

La producción será máxima si la huerta tiene 25 + 7 = 32 o 25 + 8 = 33 árboles

Ejercicio 16 resuelto

Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del sector de mayor área.

Gráfica

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