Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión

1La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x³ − 0.45x² + 2.43x + 300

1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

2Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

r = 300t (1−t).

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

3Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x³ − 6x ² + 4 en su punto de inflexión.

4Determinar a, b y c para que la función f(x)=x ³ +ax ² +bx +c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.

5Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax ³ + bx ² + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

6Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax⁴ + bx³ + c x² + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).

7La curva f(x) = x ³ + a x² + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

8Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

9Hallar a y b para qué la función: f(x) = a ln x + bx ² +x tenga extremos en los puntos x₁ = 1 y x₂ = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

10Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.

11La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragaperras durante un día si una ley del tipo:

donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas:

1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?

2. Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?

3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?

12Sea f(x) = x³ + ax² + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

1

La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x³ − 0.45x² + 2.43x + 300

1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

2

Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

r = 300t (1−t).

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

r = 300 t − 300 t²

r′ = 300 − 600 t

300 − 600 t = 0 t = ½

2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

300 t (1−t) = 0 t = 0 t = 1

El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el examen (t = 1).

3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

r″ (t) = − 600

r (½)= 300 (½) − 300 (½)²= 75

Rendimiento máximo: (½, 75)

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

3

Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x³ − 6x ² + 4 en su punto de inflexión.

f′(x) = 6x ²− 12xf′′(x) = 12x − 121

2 x − 12 = 0x = 1

f′′′(x) = 12 f′′′(1) ≠ 0 f(1) = 0

Punto de inflexión: (1, 0)

f′(1) = 6 − 12= − 6 = m

y − 0 = −6(x − 1)y = −6x + 6

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

4

Determinar a, b y c para que la función f(x)=x ³ +ax ² +bx +c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.

f(x) =x³ + ax² + bx + c f′(x) = 3x² + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0

0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b b = 0

a = 6 b = 0 c = −6

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

5

Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax ³ + bx ² + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

f(x) = ax ³ +bx ² +cx +df′(x) = 3ax ² + 2bx + c

f(0) = 4 d = 4

f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0

f′(0) = 0 c = 0

f′(2) =0 12a + 4b + c = 0

a = 1 b = −3 c = 0 d = 4

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

6

Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax⁴ + bx³ + c x² + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).

f′(x) = 4ax³ + 3 bx² + 2cx + d f′′(x) = 12ax² + 6bx + 2c

f′(x) = 4ax³ + 3 bx² + 2cx + d f′′(x) = 12ax² + 6bx + 2c

f(1) = 3a + b + c + d = 3

f(0) = 0 e = 0

f′(1) = 3 4a + 3 b + 2c + d = 3

f′(0) = 2 d = 2

f′′(0) = 0 2c = 0

a = −5 b = 6 c = 0 d = 2 e = 0

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

7

La curva f(x) = x ³ + a x² + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

8

Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

9

Hallar a y b para qué la función: f(x) = a ln x + bx ² +x tenga extremos en los puntos x₁ = 1 y x₂ = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

10

Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.

f′ (x) = 3 x ² − 6x+ 7

f′′ (x) =6 x − 6

6 x − 6 = 0 x= 1

f′′′(x) =12 f′′′(1) ≠ 0 f(1)= 6

Punto de inflexión: (1, 6)

m _t = f′(1) = 4 m _n = −1/4

Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0

Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

11

La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragaperras durante un día si una ley del tipo:

donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas:

1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?

Entre 0 y 24 la función es distinta de cero, por lo cual la máquina siempre tiene monedas.

Hay un mínimo absoluto en (0, 100)

2. Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?

Ganancia: f(24) − f(0)= 2212 − 100 = 2112

3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

f′(x)= x² − 38x + 352 x² − 38x + 352 = 0

x = 16 x = 22

f′′(x)= 2x − 38

f′′(16) = 32 − 38 < 0Máximo (16, 6700/3)

f′′(22) = 44 − 38 > 0Mínimo (22, 6592/3)

4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?

El mayor premio será igual al punto de inflexión.

f′′′(x) = 2

2x − 38 = 0x = 19

Problemas resueltos de máximos, mínimos y puntos de inflexión

12

Sea f(x) = x³ + ax² + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.

f'(x) = 3 x² + 2 ax + b f′′(x) = 6x + 2a

f′(1) = 1 3 + 2a + b = 1

f′′(1) = 0 6 + 2a = 0

a = − 3 b = 4