1 La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de días, responde a la siguiente ley:

 

 

1 Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2 Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

1 Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

 

Derivamos

 

 

Igulamos la derivada a cero y hallamos las raíces de la ecuación

 

 

Las raíces son y

 

Calculamos la segunda derivada

 

 

Calculamos el signo que toman la raíces de la derivada primera

 

 

2 Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

 

Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera

 

 

Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera:

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

 

 

Del al , y del al las acciones subieron, y del al bajaron.

 

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2 Supongamos que el rendimiento en de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

 

.

 

Donde es el tiempo en horas. Se pide:

1 ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

2 ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

3 ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

1 ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

 

Derivamos

 

 

Igulamos la derivada a cero y hallamos las raíces de la ecuación

 

 

La raíz es

 

Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera

 

 

Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera:

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

 

 

Así la función es creciente en y decreciente en .

 

2 ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

 

El rendimiento es nulo cuando .

 

.

 

Las raíces son y .

 

así el rendimiento es nulo al inicio y al final de la prueba.

 

3 ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

 

Calculamos la segunda derivada

 

 

La segunda derivada siempre es negativa, por lo que y se tiene un máximo

 

Calculamos la segunda coordenada del máximo

 

 

Así el mayor rendimiento se obtiene a la mitad de la prueba y es de

 

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3Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de en su punto de inflexión.

1 Calculamos la derivada

 

 

2 Calculamos la segunda derivada

 

 

3 Igualamos la segunda derivada a cero para obtener el punto de inflexión

 

 

de donde obtenemos

 

Calculamos la tercera derivada y evaluamos

 

 

 

 

Así la función tiene un punto de inflexión en .

 

4 Calculamos la recta tangente en el punto de inflexión, para lo cual requerimos la pendiente

 

 

Aplicando la fórmula punto pendiente se obtiene

 

 

La recta tangente que pasa por el punto de inflexión es

 

 

 

4 Determinar y para que la función tenga un máximo para , un mínimo para y tome el valor para .

1 Calculamos la derivada

 

 

2 Como la función tiene un máximo en y un mínimo en , entoces la derivada es cero en estos puntos. Sustituimos y obtenemos dos ecuaciones

 

 

 

Sustituimos el valor de en la primera ecuación y se obtiene

 

3 Como la función toma el valor para

 

 

de donde obtenemos . Luego la función es

 

 

4 Calculamos la segunda y evaluamos los puntos críticos

 

 

, entonces tiene un máximo

 

, entonces tiene un mínimo

 

 

 

5 Determinar el valor de y para que la función tenga un máximo en y un mínimo en .

1 Calculamos la derivada

 

 

2 Como la función tiene un máximo en y un mínimo en , entonces la derivada es cero en estos puntos. Sustituimos y obtenemos dos ecuaciones

 

 

 

3 Como y , se obtienen las ecuaciones

 

 

 

4 Resolvemos el sistema

 

Obtenemos y . Luego la función es

 

 

5 Calculamos la segunda y evaluamos los puntos críticos

 

 

, entonces tiene un máximo

 

, entonces tiene un mínimo

 

 

 

6 Determinar el valor de y de modo que la curva tenga un punto crítico en y un punto de inflexión con tangente de ecuación en .

1 Calculamos la derivada

 

 

2 Como la función tiene un punto crítico en , entonces la derivada es cero en este punto. Sustituimos y obtenemos la ecuación

 

 

3 Como y , se obtienen las ecuaciones

 

 

 

4 Calculamos la segunda derivada y evaluamos el punto de inflexión en ella

 

 

5 La derivada evaluada en cero coincide con la pendoente de la recta tangente en

 

 

6 Resolvemos el sistema

 

Obtenemos y . Luego la función es

 

 

 

 

7 La curva corta al eje de abscisas en y tiene un punto de inflexión en . Hallar y .

1 Calculamos la segunda derivada y evaluamos el punto de inflexión

 

 

 

 

2 Evaluamos la función en el punto de inflexión y se obtiene

 

 

3 Como , se obtiene la ecuación

 

 

4 Resolvemos el sistema

 

Obtenemos y . Luego la función es

 

 

 

 

8 Dada la función:

 

 

Calcula y , de modo que tenga en un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

1 Calculamos la derivada

 

 

2 La derivada es cero en

 

 

pero no se puede cumplir que ya que la función sería y no se cumple la condición de que la función pasa por el origen

 

3 Como y , se obtienen las ecuaciones

 

 

 

Luego la función es

 

 

 

 

9 Hallar y para qué la función: tenga extremos en los puntos y . Para esos valores de y , ¿qué tipo de extremos tienen la función en y en ?

1 Calculamos la derivada y evaluamos y , en estos puntos la derivada es cero ya que son puntos extremos

 

 

 

 

4 Resolvemos el sistema

 

Obtenemos y . Luego la función es

 

 

5 Calculamos la segunda derivada y evaluamos y

 

 

, entonces se tiene un mínimo en

 

, entonces se tiene un máximo en

 

 

 

10 Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: .

1 Calculamos la derivada

 

 

2 Calculamos la segunda derivada

 

 

3 Igualamos la segunda derivada a cero para obtener el punto de inflexión

 

 

de donde obtenemos

 

Calculamos la tercera derivada y evaluamos

 

 

 

 

Así la función tiene un punto de inflexión en .

 

4 Calculamos la recta tangente en el punto de inflexión, para lo cual requerimos la pendiente

 

 

Aplicando la fórmula punto pendiente se obtiene

 

 

La recta tangente que pasa por el punto de inflexión es

 

Aplicando la fórmula punto pendiente para la pendiente de la recta normal, se obtiene

 

 

La recta normal que pasa por el punto de inflexión es

 

 

 

11 La cantidad de manera acumulada en una máquina tragaperras durante un día es una ley del tipo:

 

 

donde la variable representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas:

1 ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?

2 Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?

3 ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

4 ¿Cuándo entrega el mayor premio?

1 Entre 0 y 24 la función es distinta de cero, por lo cual la máquina siempre tiene monedas.

 

Hay un mínimo absoluto en .

 

2 Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?

 

Ganancia:

 

3 ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

 

Calculamos la derivada

 

 

Igualamos la derivada a cero

 

 

se obtiene y

 

4 Calculamos la segunda derivada y evaluamos y

 

 

es un mínimo

 

así, la recaudación es máxima a las 16 horas y es mínima a las 22 horas

 

5 ¿Cuándo entrega el mayor premio?

 

El mayor premio será igual al punto de inflexión

 

 

 

así, el mayor premio se entrega a las 19 horas

 

 

 

12 Sea . Hallar y de manera que la gráfica de la función tenga para una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de con el eje .

1 Calculamos la primera y segunda derivada

 

 

 

2 Como la función tiene un punto de inflexión en , entonces la derivada es cero en este punto. Sustituimos y obtenemos

 

 

3 Como la recta tangente en forma un ángulo de y su pendiente es igual a la tangente de este ángulo, se tiene

 

 

Luego la función es

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗