Representar las siguientes funciones, estudiando los puntos siguientes 

  • Dominio
  • Simetría
  • Puntos de corte con los ejes
  • Asíntotas
  • Crecimiento y decrecimiento
  • Máximos y mínimos
  • Concavidad y convexidad
  • Puntos de inflexión


1 

DominioRecordemos que dependiendo del tipo de función podemos determinar el dominio. En este caso , es una función polinomial, entonces su dominio son todos los números reales, es decir,

 

Simetría

Para revisar la simetría comenzamos por evaluar la función en , y tendremos 3 posibles casos,

1 Una función par si ,
2 Una función impar si ,
3 o no aplica si no regresamos a la función original.

En este caso

Por tanto, tenemos simetría respecto al origen, es decir, función impar

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con :

Tenemos corte en este eje si , entonces, comenzamos igualando a cero

Por tanto obtenemos cero si

De aquí tendremos que los puntos de corte del eje son:

Punto de corte con :

Tenemos puntos de corte en este eje si , entonces:

.

Por lo tanto el punto de corte con el eje es:

 

Asíntotas

Para encontrar las asíntotas, tendríamos que encontrar un punto tal que ,

En este caso tenemos una función polinomial la cuál no tiene asíntotas.

 

Crecimiento y decrecimiento

Para saber si una función es creciente o decreciente en un punto, debemos de encontrar los puntos críticos, es decir, donde la derivada se hace cero. Calculamos la derivada

Vamos a calcular los puntos críticos

Ahora vamos a revisar que signo tiene la función al segmentar el dominio en y :

Entonces la función es creciente en el intervalo y decreciente en

Para encontrar los mínimos y máximos, evaluamos los puntos críticos encontrados anteriormente en la segunda derivada. Si es positiva, entonces tenemos un mínimo, si es negativa entonces tenemos un máximo.



Entonces tenemos un mínimo en , y un máximo en

 

Concavidad y convexidad
Para revisar la concavidad y conexidad usamos la segunda derivada cuando se hace cero y revisamos los intervalos donde la función es positiva y negativa, si es positiva entonces es convexa y si es negativa, entonces es cóncava.

y en los intervalos

Entonces la función es convexa en el intervalo y cóncava en

 

Puntos de inflexión
Se tiene un punto de inflexión si en un punto ,



Ahora evaluamos el único punto donde la segunda derivada se hace cero

Cómo el resultado es diferente de cero entonces tenemos un punto de inflexión en .

Representación gráfica

Gráfica de la función 1


2 

Dominio

Simetría

Observemos que

Por tanto, tenemos simetría respecto al eje , es decir, la función es par.

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con :

Entonces, los puntos de corte son

Puntos de corte con :

Notemos que

entonces el punto de corte es

 

Asíntotas

No tiene asíntotas.

 

Crecimiento y decrecimiento

Calculamos los puntos critimos:

igualamos a cero

Ahora revisamos el signo al segmentar el dominio:

por lo tanto es creciente en y decreciente en

Evaluando los puntos críticos encontrados en la segunda derivada obtenemos que

Los puntos mínimos son

Como punto máximo tenemos a

 

Concavidad y convexidad

Buscamos los puntos donde la segunda derivada se hace cero

Notemos que

por lo tanto es convexa en y concava en

 

Puntos de inflexión

Calculando la tercera derivada concluimos que los puntos de inflexion son

 

Representación gráfica

Gráfica de la función 2


3 

Dominio
Eliminamos el punto donde se hace cero el denominador

por tanto

 

Simetría

Notemos que

es decir, no presenta simetría.

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con

Entonces, el punto de corte es

 

Punto de corte con

Tenemos que

entonces el punto de corte es

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

Las asíntotas horizontales son rectas horizontales a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Las asíntotas horizontales son rectas de ecuación: .

Notemos que

Entonces no tiene asíntota horizontal.

Asíntotas verticales:

Las asíntotas verticales son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas. Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: .

Notemos que

entonces

 

Asíntota oblicua:

Las asíntotas oblicuas son rectas de ecuación:

donde

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

En este caso:

 

Entonces la asíntota oblicua tiene ecuación :

 

Crecimiento y decrecimiento

Primero encontramos los puntos críticos

igualando a cero

tendremos que los puntos críticos son

Revisamos los signos al segmentar el dominio

entonces

Evaluando los puntos críticos encontrados en la segunda derivada obtenemos que

 

Concavidad y convexidad
Calculando la segunda derivada y encontrando donde se hace cero

Evaluando en los intervalos cercanos

por lo tanto es convexa en y concava en

 

Puntos de inflexión

 

Representación gráfica

Gráfica de las asíntotas y de la funcion


4

Dominio
Eliminamos el punto donde el denominador se hace cero

 

Simetría

Notemos que

Entonces tenemos simetría respecto al eje , es decir, se trata de una función par.

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con :

Igualamos a cero y obtenemos

Por tanto, no hay puntos de corte con el eje

Punto de corte con :

Similarmente

Por tanto, no hay puntos de corte con el eje

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

Es decir, no hay asíntota horizontal

 

Asíntotas verticales:

 

Asíntota oblicua:

 

Es decir, no tiene.

Crecimiento y decrecimiento

Observemos que

de aqui

Por lo tanto la función será creciente en y decreciente en

Ademas, los puntos mínimos estan dado por y

 

Concavidad y convexidad

Observemos que

entonces

De aqui concluimos que la función es convexa en

 

Puntos de inflexión

No hay punto de inflexión.

 

Representación gráfica

 

Gráfica de la función con una misma asíntota


5 

Dominio

Eliminamos el mundo donde el denominador se anula

 

Simetría

 

No presenta simetría

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con :

 

Punto de corte con :

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

Notemos que

 

Entonces, no tiene.

 

Asíntotas verticales:

 

Asíntota oblicua

 

entonces

 

Crecimiento y decrecimiento

Encontramos puntos críticos

Evaluando en los intervalos

Es decir, tendremos que es creciente en y decreciente en .

Evaluamos los puntos críticos encontrados en la segunda derivada, para encontrar los mínimos y máximos.

Tendremos que es un minimo y un máximo.

 

Concavidad y convexidad

Puesto que no tenemos solución, dividiremos los intervalos del dominio a partir del 2 que no pertenece al dominio.

Obteniendo

Por tanto, tenemos que de convexa y de concava.

 

Puntos de inflexión

No hay punto de inflexión.

 

Representación gráfica

 

Gráfica de las asíntotas de la función


¿Buscas clases particulares matematicas? ¡Encuéntralas en Superprof!

6 

Dominio

 

Simetría

 

Tenemos simetría respecto al origen, es decir, se trata de una función impar.

 

Puntos de corte con los ejes

Punto de corte con :

 

entonces el punto de corte es

 

Punto de corte con :

Tenemos

entonces el punto de corte es

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

 

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas.

 

Crecimiento y decrecimiento

Encontramos los puntos críticos

Revisamos el signo tiene la función al segmentar el dominio

De donde tenemos que la función es creciente de y decreciente en .

Y evaluando los puntos criticos en la segunda derivada, tendremos que

 

Concavidad y convexidad

Calculamos los puntos donde se hace cero la segunda derivada

Revisamos el signo en los intervalos

Por tanto, tenemos que la función es convexa en y es cóncava en .

 

Puntos de inflexión

 

Representación gráfica

Representación de la gráfica


7  

Dominio

 

Simetría

No presenta simetría

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con :

 

 

Punto de corte con :

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

 

 

No hay asíntotas verticales ni oblicuas.

 

Crecimiento y decrecimiento

entonces

Revisamos el signo al segmentar el dominio de la función

Por tanto tenemos que es creciente de y decreciente de

Evaluando los puntos críticos en la segunda derivada encontramos que

 

Con los datos obtenidos representamos:

 

Representación gráfica de la función


Si buscas un profesor de matematicas online, ¡está en Superprof!

8 

Dominio

Puesto que se esta calculando la raiz de "" en la funcion tendremos que

 

Simetría

No presenta simetría.

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con :

 

por lo que el punto de corte es

 

Punto de corte con :

por lo que el punto de corte es

 

Asíntotas

No tiene asíntotas.

 

Crecimiento y decrecimiento

Por lo tanto, los puntos críticos son

 

Puesto que no tiene solución, solo consideramos el intervalo del dominio

Es decir, es una función creciente.

 

Máximo y mínimos

No existen extremos locales.

 

Concavidad y convexidad
Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero

Al no tener solución, tomamos el intervalo del dominio, obteniendo

Por lo que es una funcion concava.

 

Puntos de inflexión

No hay punto de inflexión.

 

Representación gráfica

Gráfica sin puntos de inflexion

9 

Dominio

 

Simetría

No presenta simetría.

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con :

 

 

Punto de corte con :

 

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

 

No hay asíntotas verticales ni oblicuas.

 

Crecimiento y decrecimiento

verificando el signo

De donde deducimos que la función es creciente de y decreciente de

Evaluando los puntos críticos en la segunda derivada, encontramos que

 

Concavidad y convexidad

Calculamos la segunda derivada y encontramos los puntos que la anulan

Se segmenta el dominio en y observando el signo de la segunda derivada en estos intervalos

Por tanto, la función em el intervalo es convexa y en el intervalo es concava.

 

Puntos de inflexión

 

Representación gráfica

Representación de la gráfica según la ecuación


10 

Dominio

 

Simetría

No presenta simetría.

 

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con :

es decir, y el punto de corte sería

 

Punto de corte con :

No corta con el eje

 

Asíntotas

Asíntota horizontal:

 

Asíntotas verticales

 

 

Crecimiento y decrecimiento
Calculamos puntos criticos

obteniendo como punto critico . Entonces

por tanto la función es creciente de y decreciente de . Encontramos un máximo en .

 

Concavidad y convexidad

Igualando la segunda derivada a cero

Segmentando el dominio y observando el signo de la segunda derivada concluimos que la función es convexa de y cóncava de .

 

Representación gráfica

Una gráfica


¿Quieres aprender a tu ritmo con un profesor particular? Encuentra el curso matematicas que mejor te convenga en Superprof.

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,24 (51 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗