Ejercicios de optimización utilizando derivadas.
Ejercicios propuestos
1 El valor de un rubí es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un rubí de g en dos partes de gramos y de gramos, de forma que la suma de los valores de los dos rubíes formados sea mínima.
Calculamos la derivada segunda y sustituimos:
Por tanto, el rubí se ha de dividir en dos partes iguales de g.
2 Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por por el punto aquella que forma con la partes positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área mínima.
Por tanto y vértices del triangulo.
Ahora bien, queremos que el área del triangulo formado por la recta sea mínima, recordemos que el area del triangulo es
en este caso queda
Calculamos la derivada e igualamos a cero para encontrar valores críticos:
Notemos que con no se formaría un triángulo porque las coordenadas de A y B coinciden con el origen de coordenadas, por tanto tomamos
Calculamos la derivada segunda y sustituimos:
Por tanto, la recta es la que tiene pendiente
3 Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.
Recordemos que la formula del volumen del cono es
en este caso de acuerdo a la figura tendríamos que la función a optimizar es
Relacionamos las variables:
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
4 Hallar dos números que sumados den 20 y cuyo producto sea máximo.
Sea y como entonces , sustituyendo resulta:
Vamos a calcular el (o los) máximo(s) de la función
Por lo tanto, es un máximo. Y de aquí, los números buscados son
5 Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular de de superficie, para poderlo cercar con una valla de longitud mínima.
Por otro lado, la superficie que tenemos que vallar , es decir, es la función a minimizar.
Tenemos que
Llamando y sustituyendo obtenemos:
Vamos a minimizar :
Calculando la segunda derivada y sustituyendo
Por tanto, las dimensiones son
6 Descomponer el número en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
y queremos que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo por tanto
Puesto que
sustituimos ""
Derivando e igualando a cero
Calculando la segunda derivada
Por tanto mínimo y los números son
7 El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene dado por la función:
donde es el número de autobuses fabricados en un mes. Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.
Calculamos la segunda derivada y sustituimos
Por tanto máximo.
8 Halla dos números tales que el cuadrado de uno multiplicado por el otro sea máximo, si la suma de dichos números es .
Llamamos . Puesto que entonces se tiene que y por tanto:
Vamos a maximizar la función
De aquí concluimos que los numero son
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Determinar el límite de la función 𝑓(𝑥) =
9
(𝑥+1)
2
cuando la x tiende al infinito
Porque no se puede representar analíticamente la función inversa de F(x) = 1 – 2/x²
F(x)=1-2x resuelvan o expliquenme xfis todos estos f(x)6-x.
F(x)x-2
F(x)3x-1 es para hoy xfis
Un favor me podria ayudar este ejercicio?. Encontrar la funcion inversa f(x) = sen(x/2)
en el ejercicio 9 no se sustituyo x por y
PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.
Representa en el plan cartesiano los siguientes pares ordenados. Utiliza Hojas cuadriculadas, une los pares ordenados, sólo marca la letra o el punto en el Plano:
A(11,0), B(10,7), C(8,14), D(7,15), E(5,10), F(6,7), G(5,3), H(-5,-3), 1(-7,-3), J(-10,-5), K(1,5), L(6,-4), M(5,6), N(4,-7), 0(4,-9), P(8,-6), Q(11,0), R(14,-2), S(17,-2), T(14,-4), U(9,-4), W(7,13), X(8,12), Y(6,15), Z(6,15), (8,15), (8,20), (9,21), (5,21), (6,20), (6,15).
³√(x-3)/3