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Vamos

Optimizacion en figuras geométricas

 

 

1 Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio .

 

1 Representamos graficamente los datos

 

Triangulo inscrito en una circunferencia

 

 

2Función a optimizar es la que representa el área del triángulo isósceles:

 

 

3Relacionamos las variables:

 

 

4Sustituimos en la función:

 

 

5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Igualamos a cero (en este caso basta solo el numerador) y calculamos las raíces

 

 

Sustituimos en la relación de y para obtener

 

 

Luego la base es

 

y el lado es

 

 

6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

 

Al evaluar se obtiene

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para la altura máxima de , existe un máximo relativo

 

 

2 Un triángulo isósceles de perímetro , gira alrededor de su altura
engendrando un cono.

¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

1 Representamos graficamente los datos

 

Triángulo isósceles

 

 

2Función a optimizar es la que representa el área del triángulo isósceles:

 

 

3Relacionamos las variables:

 

Aplicamos el teorema de Pitágoras

 

 

Aplicamos el perímetro

 

 

Igualamos ambas expresiones y obtenemos

 

 

4Sustituimos en la función:

 

 

5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Igualamos a cero (en este caso basta solo el numerador) y calculamos las raíces

 

 

Luego la base es

 

6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

 

Al evaluar se obtiene

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para el radio máximo de , existe un máximo relativo

 

 

3 Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base y por altura .

1 Representamos graficamente los datos

 

Rectángulo inscrito en un triángulo isósceles

 

 

2Función a optimizar

 

 

3Relacionamos las variables: al tener dos triángulos semejantes se obtiene

 

 

Aplicamos el perímetro

 

 

4Sustituimos en la función:

 

 

5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Luego la base es

 

6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

 

Al evaluar se obtiene

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para y , existe un máximo relativo

 

4 Un sector circular tiene un perímetro de .

Calcular el radio y la amplitud del sector de mayor área.

1 Representamos graficamente los datos

 

Segmento de circunferencia

 

2Función a optimizar

 

 

3Relacionamos las variables:

 

 

4Sustituimos en la función:

 

 

5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Luego

 

6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

 

Al evaluar se obtiene

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero (negativa), entonces la función tiene un máximo relativo. En conclusión, para y , existe un máximo relativo

 

 

Optimización para el ahorro de material

 

1 Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de litro de capacidad.

¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

 

1Función a optimizar

 

 

2Relacionamos las variables:

 

 

3Sustituimos en la función:

 

 

4Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Luego

 

5Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

 

Al evaluar se obtiene

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero (positiva), entonces la función tiene un mínimo relativo. En conclusión, para y , existe un mínimo relativo

 

 

2 Se tiene un alambre de de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado.

Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

 

1Función a optimizar

 

 

2Relacionamos las variables:

 

 

3Sustituimos en la función:

 

 

4Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Luego el trozo del círculo es y el trozo del cuadrado es

 

5Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero (positiva), entonces la función tiene un mínimo relativo.

 

 

3 Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser , su altura y el coste de su construcción por es de € para la base; para la tapa y para cada pared lateral.

1 Representamos graficamente los datos

 

Paralelepípedo

 

 

2Función a optimizar

 

 

3Relacionamos las variables

 

 

4Sustituimos en la función:

 

 

5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Luego

 

6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

 

Al evaluar se obtiene

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero, entonces la función tiene un mínimo relativo.

 

Diversos ejercicios sobre optimización

 

1 Descomponer el número en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

 

 

1Función a optimizar

 

 

2Relacionamos las variables:

 

 

3Sustituimos en la función:

 

 

4Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Luego

 

5Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero (positiva), entonces la función tiene un mínimo relativo.

 

 

2 Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de  dimensiones un cuadrado de lado y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja.

Calcular para que volumen de dicha caja sea máximo.

1 Representamos graficamente los datos

 

Caja

 

2Función a optimizar

 

 

3Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

pero no es válida ya que

 

4Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

 

Al evaluar se obtiene

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero, entonces la función tiene un máximo relativo.

 

 

3 Una hoja de papel debe tener de texto impreso, márgenes superior e inferior de de altura y márgenes laterales de de anchura.

Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

1 Representamos graficamente los datos

 

Hoja de papel

 

2Función a optimizar

 

 

3Relacionamos las variables:

 

 

4Sustituimos en la función:

 

 

5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Igualamos a cero (basta solo el numerador) y calculamos las raíces

 

 

pero no es válida

 

6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

 

Al evaluar se obtiene

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero, entonces la función tiene un mínimo relativo.

 

 

Optimización para producción y ganancias

 

El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses
viene dado por la función:

 

 

donde es el número de autobuses fabricados en un mes.

 

1 Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.

 

2 El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.

 

 

1Función a optimizar

 

 

2Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

Igualamos a cero y calculamos las raíces

 

 

3Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido

 

 

De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es menor que cero, entonces la función tiene un máximo relativo.

 

El beneficio máximo correspondiente a dicha producción

 

 

 

Problema de optimización en la huerta

 

Una huerta tiene actualmente árboles, que producen frutos cada uno.

Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuyeen frutos.

 

Calcular:

 

1 La producción actual de la huerta.

 

2 La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan árboles más.

 

3 La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan árboles más.

 

4 ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la
producción sea máxima?

 

 

1 La producción actual de la huerta.

 

Producción actual: frutos.

 

2 La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan árboles más.

 

Si se plantan árboles más, la producción de cada árbol será: .

 

3 La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan árboles más.

 

 

4 ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima?

 

 

Igualamos la derivada a cero

 

 

Calculamos la segunda derivada

 

 

La producción será máxima si la huerta tiene ó árboles

 

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗