Optimización de funciones

Pasos para la resolución de problemas

 1  Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

 2  Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

 3  Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

 4  Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

 5  Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Ejemplo

De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

Triángulo

La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:

Ärea

Relacionamos las variables:

2x + 2y = 12

x = 6 − y

Sustituimos en la función:

Sustitución

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

Raíces de la derivada

Raíces de la derivada

Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

Derivada 2ª

Derivada 2ª

Derivada 2ª

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.