Examen de aplicaciones de la derivada
1Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
2Hallar los máximos y mínimos de la función:
3Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
4La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragaperras durante un día si una ley del tipo:
donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas:
1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?
2. Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?
3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?
4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?
5Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.
Examen resuelto de aplicaciones de la derivada
1
Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Examen resuelto de aplicaciones de la derivada
2
Hallar los máximos y mínimos de la función:
Examen resuelto de aplicaciones de la derivada
3
Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
f′ (x) = 3 x 2 − 6x+ 7
f′′ (x) =6 x − 6
6 x − 6 = 0 x= 1
f′′′(x) =12 f′′′(1) ≠ 0 f(1)= 6
Punto de inflexión: (1, 6)
m t = f′(1) = 4 m n = −1/4
Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0
Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0
Examen resuelto de aplicaciones de la derivada
4
La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragaperras durante un día si una ley del tipo:
donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas:
1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?
Entre 0 y 24 la función es distinta de cero, por lo cual la máquina siempre tiene monedas.
Hay un mínimo absoluto en (0, 100)
2. Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?
Ganancia: f(24) − f(0)= 2212 − 100 = 2112
3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?
f′(x)= x² − 38x + 352 x² − 38x + 352 = 0
x = 16 x = 22
f′′(x)= 2x − 38
f′′(16) = 32 − 38 < 0Máximo (16, 6700/3)
f′′(22) = 44 − 38 > 0Mínimo (22, 6592/3)
4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?
El mayor premio será igual al punto de inflexión.
f′′′(x) = 2
2x − 38 = 0x = 19
Examen resuelto de aplicaciones de la derivada
5
Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.
f'(x) = 3 x2 + 2 ax + b f′′(x) = 6x + 2a
f′(1) = 1 3 + 2a + b = 1
f′′(1) = 0 6 + 2a = 0
a = − 3 b = 4
