Ejercicios y problemas de aplicaciones de la derivada
1Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:
1. 
2. 
3.
4.
5.
6.
2Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:
1.
2.
3.
4.
3Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones:
1.
2.
3.
4La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:
C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300
1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.
2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.
5Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:
r = 300t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
6Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x3 − 6x 2 + 4 en su punto de inflexión.
7Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax2 + bx + c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.
8Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).
9Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax4 + bx3 + c x2 + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).
10La curva f(x) = x 3 + a x2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.
11Dada la función:
Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.
12Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?
Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada
1
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada
2
Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:
1.
2.
3.
4.
Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada
3
Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones:
1.
2.
3.
Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada
4
La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:
C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300
1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.
2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.
Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.
Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada
5
Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:
r = 300t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
r = 300 t − 300 t²
r′ = 300 − 600 t
300 − 600 t = 0 t = ½
2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
300 t (1−t) = 0 t = 0 t = 1
El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el examen (t = 1).
3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
r″ (t) = − 600
r (½)= 300 (½) − 300 (½)²= 75
Rendimiento máximo: (½, 75)
Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada
6
Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x3 − 6x 2 + 4 en su punto de inflexión.
f′(x) = 6x 2− 12xf′′(x) = 12x − 121
2 x − 12 = 0x = 1
f′′′(x) = 12 f′′′(1) ≠ 0 f(1) = 0
Punto de inflexión: (1, 0)
f′(1) = 6 − 12= − 6 = m
y − 0 = −6(x − 1)y = −6x + 6
Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada
7
Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax2 + bx + c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.
f(x) =x3 + ax2 + bx + c f′(x) = 3x2 + 2ax + b
1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0
0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48
0 = 0 − 0 + b b = 0
a = 6 b = 0 c = −6
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8
Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).
f(x) = ax 3 +bx 2 +cx +df′(x) = 3ax 2 + 2bx + c
f(0) = 4 d = 4
f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0
f′(0) = 0 c = 0
f′(2) =0 12a + 4b + c = 0
a = 1 b = −3 c = 0 d = 4
Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada
9
Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax4 + bx3 + c x2 + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).
f′(x) = 4ax3 + 3 bx2 + 2cx + d f′′(x) = 12ax2 + 6bx + 2c
f′(x) = 4ax3 + 3 bx2 + 2cx + d f′′(x) = 12ax2 + 6bx + 2c
f(1) = 3a + b + c + d = 3
f(0) = 0 e = 0
f′(1) = 3 4a + 3 b + 2c + d = 3
f′(0) = 2 d = 2
f′′(0) = 0 2c = 0
a = −5 b = 6 c = 0 d = 2 e = 0
Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada
10
La curva f(x) = x 3 + a x2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.
Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada
11
Dada la función:
Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.
Ejercicios y problemas resueltos de aplicaciones de la derivada
12
Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?
