Concavidad y convexidad

Concavidad y convexidad

Concavidad y convexidad

Criterio de concavidad y convexidad

Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava.

Es posible encotrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de manera opuesta, usando el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.

Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede ser confuso desde el punto de vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa:

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.

Concavidad

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

Convexidad

Intervalos de concavidad y convexidad

Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:

 1  Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.

 2  Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

 Recta

 3  Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f''(x) > 0 es convexa.

Si f''(x) < 0 es cóncava.

Del intervalo (−∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.

f''(−1) = 6 (−1) < 0 Cóncava.

Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, por ejemplo.

f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.

Recta

 4  Escribimos los intervalos:

Convexidad: (0, ∞)

Concavidad: (−∞, 0)

Ejemplo

Dominio, simetría y puntos de corte

Dominio, simetría y puntos de corte

Dominio, simetría y puntos de corte

Monotonía y extremos

Curvatura y puntos de inflexión

Curvatura y puntos de inflexión

Curvatura y puntos de inflexión

Curvatura y puntos de inflexión

Curvatura y puntos de inflexión