Si 
y 
son derivables en 
1 
es convexa en
2
es cóncava en
Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava.
Es posible encontrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de manera opuesta, usando el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.
Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede ser confuso desde el punto de vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa:
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo 
y 
, el segmento que une los puntos 
y 
siempre queda por debajo de la gráfica.
Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo y , el segmento que une los puntos y siempre queda por encima de la gráfica.
Intervalos de concavidad y convexidad
Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:
Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:
1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
2 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
3 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.
Si 
, entonces 
es convexa
Si 
, entonces es cóncava
Del intervalo 
tomamos 
, por ejemplo
es cóncava
Del intervalo 
tomamos 
, por ejemplo
es convexa
4 Escribimos los intervalos:
Convexidad:
Concavidad:
Ejemplos
1 
En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función
Así el dominio es
Hallamos la derivada primera
Hallamos la segunda derivada
Igualamos a cero y hallamos las raíces de la ecuación
Formamos intervalos con los ceros de la derivada segunda y con los puntos de discontinuidad
Sustituimos un valor de cada intervalo en la función
Si el resultado es positivo, la función es convexa en ese intervalo
Si el resultado es negativo, la función es concava en ese intervalo
Convexa: 
Cóncava
2
Hallamos la derivada primera
Hallamos la segunda derivada
Igualamos a cero y hallamos las raíces de la ecuación
Convexa: 
Cóncava 
Punto de inflexión 
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Y=x³ x=1 ∆x=0.02
Dy= 3x^2 • dx
dy= 3(1)^2 • 0.02
dy= 0.06
Considera la curva de ecuación y=-X³ + 26X y halla sus rectas tangentes que sean paralelas a la recta y= -X.
f(x)= 4x-2
hola me pode hayudar con este problema Realizar la derivada por definición de f(x) = x³+1 en x = 0.
De acuerdo con la definición de derivada de una función
f´(x)=〖lim〗┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
f(x)=1/2 x^3+2x+3
4(x+h)-4x/h =4x+4h-4x/h= 4h/h= 4