1 Calcula los puntos en que la tangente a la curva es paralela al eje .

 

Calcula los puntos en que la tangente a la curva es paralela al eje .

El eje tiene de ecuación , por tanto

Igualamos la derivada primera a para hallar los puntos de tangencia

;     (simplificando por )

Hallamos las segundas coordenadas sustituyendo en la función

2Se ha trazado una recta tangente a la curva , cuya pendiente es y pasa por el punto . Hallar el punto de tangencia.

 

Se ha trazado una recta tangente a la curva , cuya pendiente es y pasa por el punto . Hallar el punto de tangencia.

Sea el punto de tangencia

Igualamos la derivada primera a la pendiente

Las ecuaciones de la rectas tangentes son:

El punto pertenece a la recta .

Por tanto el punto de tangencia será .

3Busca los puntos de la curva , para los cuales la tangente forma un ángulo de con .

 

Buscar los puntos de la curva , para los cuales la tangente forma un ángulo con .

Igualamos la derivada primera a la pendiente y resolvemos la ecuación

las segundas coordenadas se obtienen sustityendo en la función

4Dada la función , hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función en el origen, con el eje de abscisas.

 

Dada la función , hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función en el origen, con el eje de abscisas.

5Calcula la ecuación de la tangente y de la normal a la curva en el punto de abscisa: .

 

Calcula la ecuación de la tangente y de la normal a la curva en el punto de abscisa: .

Ecuación de la tangente:

Ecuación de la normal:

6Hallar los coeficientes de la ecuación , sabiendo que su gráfica pasa por y por , y en este último punto su tangente tiene de pendiente .

 

Hallar los coeficientes de la ecuación , sabiendo que su gráfica pasa por y por , y en este último punto su tangente tiene de pendiente .

Pasa por

Pasa por

Resolviendo el sistema se obtiene:

7La gráfica de la función pasa por los puntos y . siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de y .

 

La gráfica de la función pasa por los puntos y . siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de y .

Pasa por

Pasa por

Resolviendo el sistema se obtiene:

8Dada la función , determina y ; sabiendo que la curva pasa por los puntos y , y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa y son paralelas al ejes de abscisas.

 

Dada la función , determina y ; sabiendo que la curva pasa por los puntos y , y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa y son paralelas al ejes de abscisas.

9¿En qué punto de la curva , la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos y ?

 

¿En qué punto de la curva , la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos y ?

La pendiente de la cuerda tiene que ser igual a la derivada de la función.

10La ecuación de un movimiento circular es: . ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?

 

La ecuación de un movimiento circular es: . ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?

 

¡Tenemos el profe mates perfecto para ti!

11Un observador se encuentra a de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que , se pide:

a ¿Cuál es la altura del cohete cuando radianes?

b ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando radianes?

 

Un observador se encuentra a de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que , se pide:

a ¿Cuál es la altura del cohete cuando radianes?

triangulo rectangulo

b ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando radianes?

12Se bombea gas a un globo esférico a razón de /min. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide ?

 

Se bombea gas a un globo esférico a razón de /min. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide ?

 

Para resolver este problema necesitamos la fórmula del volumen en términos del radio:

 

 

Además, sabemos que la tasa de cambio del volumen es con unidades de .

 

Para poder relacionar las funciones necesitamos escribir al volumen en términos del tiempo. Esto lo haremos escribiendo , ya que el radio también varía con el tiempo. De este modo:

 

 

Ahora derivamos el volumen respecto al tiempo (utilizaremos la regla de la cadena):

 

 

Observemos que en la ecuación anterior ya tenemos todo lo que necesitamos. Ya conocemos , el cual es constante. Asimismo, es la variable que buscamos. Despejamos primero

 

 

No sabemos el tiempo, pero sabemos que el diámetro es 120 cm, es decir, el radio es 60 cm o 0.6 m. Sustituimos esos valores:

 

 

Por lo tanto, la respuesta es 1.33 m/min.

13Hallar el ángulo de intersección entre las curvas y

 

Hallar el ángulo de intersección entre las curvas y

 

1Aplicamos la fórmula

 

 

2Igualamos ambas curvas

 

 

3Calculamos las pendientes

 

 

4Sustituimos en la fórmula del ángulo entre dos curvas

 

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗