Ejercicios de aplicaciones de la derivada

1Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.

2Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.

3Buscar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x3 + 13x2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.

4Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.

5Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

6Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

7La gráfica de la función y = ax2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.

8Dada la función  f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas.

9¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?

10La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?

11Un observador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo Φ(t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que Φ'(t) = Π/3, se pide:

1 ¿Cuál es la altura del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

2 ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

12Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m3/min. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide 120 cm?

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Ejercicio 1 resuelto

Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.

y' = 3x2 − 6x − 9;     x2 − 2x − 3 = 0 (simplificando por 3)

x1 = 3 y1 = −22

x2 = −1y2 = 10

A(3, −22) B(−1, 10)

Ejercicio 2 resuelto

Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.

Sea el punto de tangencia (a, f(a))

f' (x)= 3x2f' (a)= 3a2

3a2=3a = ±1

Las ecuaciones de la rectas tangentes son:

a = 1 f(a) = 1

y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2

a = −1 f(a) = −1

y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2   

El punto (0, −2) pertenece a la recta  y = 3x − 2.

Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) .

Ejercicio 3 resuelto

Buscar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x3 + 13x2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.

m = 1

f'(x) = 4x3 + 21x2 + 26x +1

4x3 + 21x2 + 26x +1 = 1

x = 0 x = −2 x z= 13/4

P(0, 4) Q(−2, 4) R(13/4, 1621/256)

Ejercicio 4 resuelto

Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.

f′(x) = 1 + tg² x       f′(0) = 1 = m

y = x

α = arc tg 1 = 45º

Ejercicio 5 resuelto

Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Ejercicio 6 resuelto

Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

Pasa por (0, 3) 3 = c

Pasa por (2, 1) 1= 4a + 2b + c

y' = 2ax + b 3 = 4a + b

Resolviendo el sistema se obtiene:

a = 2 b = −5 c = 3

Ejercicio 7 resuelto

La gráfica de la función y = ax2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13), siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.

Pasa por (2, 3) 3 = 4a + 2b + c

Pasa por (3, 13)13 = 9a + 3b +c

y' = 2ax + b 1 = 2a + b

Resolviendo el sistema se obtiene:

a = 3 b = −5 c =1

Ejercicio 8 resuelto

Dada la función  f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas.

f(−1) = 2 −a + b − c + d = 2

f(2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3

f′(−1) = 0 3a + 2b + c = 0

f′(2) = 0 12a − 4b + c = 0

a = − 2 /9 b = − 1 /3 c = 4/3 d = 31/9

Ejercicio 9 resuelto

¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?

La pendiente de la cuerda tiene que ser igual a la derivada de la función.

solución

solución

solución

Ejercicio 10 resuelto

La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?

ω(t)= φ′(t)= t ω = 7

α(t)= φ′′ (t)= 1 α = 1

Ejercicio 11 resuelto

Un observador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo Φ(t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que Φ'(t) = Π/3, se pide:

1 ¿Cuál es la altura del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

Esquema del cohete

solución

2 ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

solución

solución

solución

Ejercicio 12 resuelto

Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m3/min. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide 120 cm?

Velocidad con la que cambia el radio del globo

Velocidad con la que cambia el radio del globo

Velocidad con la que cambia el radio del globo

Velocidad con la que cambia el radio del globo

Velocidad con la que cambia el radio del globo

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