Ejercicios de derivabilidad y continuidad
1Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función f(x) = |x|.
2Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:
3Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:
4Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:
5Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.
6Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.
7Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:
8Dada la función:
¿Para qué valores de a es derivable?
9Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:
10Determinar los valores de a y b para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:
11Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:
Ejercicios resueltos de derivabilidad y continuidad
1
Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función f(x) = |x|.
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.
Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.
Ejercicios resueltos de derivabilidad y continuidad
2
Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.
No es derivable en x = 0.
Ejercicios resueltos de derivabilidad y continuidad
3
Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.
Ejercicios resueltos de derivabilidad y continuidad
4
Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.
Ejercicios resueltos de derivabilidad y continuidad
5
Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.
La función es continua en toda 
.
f'(−2)− = −1f'(−2)+ = 1
No será derivable en: x= -2.
En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.
Ejercicios resueltos de derivabilidad y continuidad
6
Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.
La función es continua en toda .
f'(2)- = −1f'(2)+ = 1
f'(3)- = −1f'(3)+ = 1
Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x=2 y x=3.
Podemos observar que en x=2 y en x=3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.
Ejercicios resueltos de derivabilidad y continuidad
7
Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:
La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.
Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas.
Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.
Ejercicios resueltos de derivabilidad y continuidad
8
Dada la función:
¿Para qué valores de a es derivable?
Ejercicios resueltos de derivabilidad y continuidad
9
Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:
Ejercicios resueltos de derivabilidad y continuidad
10
Determinar los valores de a y b para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:
Para qué una función derivable tiene que ser continua En este caso la función no es continua para x = 0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no existen valores de a y b que hagan continua la función.
Por tanto, no existen a y b para los cuales la función sea derivable.
Ejercicios resueltos de derivabilidad y continuidad
11
Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:
