Ejercicios de derivabilidad y continuidad

1Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

2Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:

función

3Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:

función

4Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:

función

5Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

6Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

7Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

Función a trozos

8Dada la función:

Función a trozos

¿Para qué valores de a es derivable?

9Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Función trozos

10Determinar los valores de a y b para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

Función trozos

11Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Función a trozos

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Ejercicio 1 resuelto

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

función

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

continuidad

La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

función

función

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Ejercicio 2 resuelto

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:

función

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

continuidad

La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

función

función

No es derivable en x = 0.

Ejercicio 3 resuelto

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:

función

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

continuidad

La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.

Ejercicio 4 resuelto

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función:

función

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

continuidad

La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.

Ejercicio 5 resuelto

Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

cálculo de derivadas

cálculo de derivadas

La función es continua en toda R.

cálculo de derivadas

f'(−2) = −1f'(−2)+ = 1

No será derivable en: x= -2.

cálculo de derivadas

En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.

Ejercicio 6 resuelto

Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

Derivabilidad

Derivabilidad

Derivabilidad

La función es continua en toda R.

Derivabilidad

f'(2)- = −1f'(2)+ = 1

f'(3)- = −1f'(3)+ = 1

Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x=2 y x=3.

cálculo de derivadas

Podemos observar que en x=2 y en x=3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

Ejercicio 7 resuelto

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

Función a trozos

La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.

Estudio del otro punto

Estudio del otro punto

Estudio del otro punto

Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas.

Derivada de f(x)

Derivadas laterales

Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.

Ejercicio 8 resuelto

Dada la función:

Función a trozos

¿Para qué valores de a es derivable?

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Ejercicio 9 resuelto

Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Función trozos

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Ejercicio 10 resuelto

Determinar los valores de a y b para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

Función trozos

Para qué una función derivable tiene que ser continua En este caso la función no es continua para x = 0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no existen valores de a y b que hagan continua la función.

Por tanto, no existen a y b para los cuales la función sea derivable.

Ejercicio 11 resuelto

Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Función a trozos

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

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