Resumen de derivadas

Tasa de variación

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.

Δy = [f(a+h) − f(a)]

Tasa de variación media

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por Cociente incremental ó Cociente incremental, al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

TVM

Interpretación geométrica de la tasa de variación media

La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.

Pendiente

Derivada de una función en un punto

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

derivada

Interpretación geométrica de la derivada

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt = f'(a)

Interpretación física de la derivada

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir la derivada del espacio respecto al tiempo.

Velocidad instantánea

Función derivada

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x).

Función derivada

Derivadas laterales

Derivada por la izquierda

Drerivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Derivada por la derecha

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

Derivabilidad y continuidad

Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.


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