Ejercicios y problemas de derivadas

1Calcular las derivadas en los puntos que se indica:

1función en x = -5.

2función en x = 1.

3función en x = 2.

4función en x = 3.

2Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

3¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

4Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

Función

Se pide:

1. Verificar que la población es función continua del tiempo.

2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.

5Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

6Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

7Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

Función a trozos

8Dada la función:

Función a trozos

¿Para qué valores de a es derivable?

9Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Función trozos

10Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

Función trozos

Ejercicios resueltos de cálculo de derivadas


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Ejercicio 1 resuelto

1. función en x = 5.

derivada

derivada

derivada

derivada

2. función en x = 1.

derivada

derivada

derivada

derivada

3. función en x = 2.

derivada

derivada

derivada

4. función en x = 3.

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición

Ejercicio 2 resuelto

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición

Ejercicio 3 resuelto

¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición

Ejercicio 4 resuelto

Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

Función

Se pide:

1. Verificar que la población es función continua del tiempo.

Solución

Solución

Solución

2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

Solución

Solución

3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.

Solución

Solución

Se ha hallado la derivada de la función exponencial mediante la fórmula inmediata.

Ejercicio 5 resuelto

Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

cálculo de derivadas

cálculo de derivadas

La función es continua en toda R.

cálculo de derivadas

f'(−2) = −1f'(−2)+ = 1

No será derivable en: x= −2.

cálculo de derivadas

En x = 2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= 2.

Ejercicio 6 resuelto

Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

Derivabilidad

Derivabilidad

Derivabilidad

La función es continua en toda R.

Derivabilidad

f'(2)- = −1f'(2)+ = 1

f'(3)- = −1f'(3)+ = 1

Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x = 2 y x = 3.

cálculo de derivadas

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

Ejercicio 7 resuelto

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

Función a trozos

La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.

Estudio del otro punto

Estudio del otro punto

Estudio del otro punto

Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas.

Derivada de f(x)

Derivadas laterales

Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.

Ejercicio 8 resuelto

Dada la función:

Función a trozos

¿Para qué valores de a es derivable?

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Ejercicio 9 resuelto

Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Función trozos

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Ejercicio 10 resuelto

Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

Función trozos

Para qué una función sea derivable tiene que ser continua. En este caso la función no es continua para x = 0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no existen valores de a y b que hagan continua la función.

Por tanto, no existen valores de a y b para los cuales la función sea derivable.

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