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Vamos

Calcular la derivada

 

1 Calcular las derivadas en los puntos que se indica:

  • en .

  • en .

  • en .

  • en .

 

Recordemos que una manera de calcular la derivada es a través de su definición, esto es, calculando el siguiente límite

 

1 en

 

Obtener la derivada

 

Eliminamos paréntesis desarrollando

Cancelamos términos y factorizamos la en el numerador

Simplificamos y calculamos el límite

Finalmente

 

Evaluar

 

Evaluamos la derivada en el punto

 

2 en .

 

Obtener la derivada

 

Eliminamos paréntesis desarrollando

Cancelamos términos y factorizamos la en el numerador

Simplificamos y calculamos el límite

Finalmente

 

Evaluar

 

Evaluamos la derivada en el punto

 

3 en

 

Obtener la derivada

 

Desarrollamos

Simplificamos y calculamos el límite

 

Evaluar

 

Evaluamos la derivada en el punto

 

4 en .

 

Obtener la derivada

 

Mutliplicamos por el conjugado para racionalizar

Desarrollamos

Simplificamos y calculamos el límite

 

Evaluar

 

Evaluamos la derivada en el punto

 

2 ¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

 

Obtener la derivada

 

La velocidad es igual a la derivada de la ecuación de posición, en este caso

Eliminamos paréntesis desarrollando

Cancelamos términos y factorizamos la en el numerador

Simplificamos y calculamos el límite

 

Evaluar

 

 

Encontrar las coordenadas

 

3 Dada la curva de ecuación , halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

 

Obtener la derivada

 

Eliminamos paréntesis desarrollando

Cancelamos términos y factorizamos la en el numerador

Simplificamos y calculamos el límite

 

Igualar la derivada y obtener el valor de la abscisa

 

Queremos que la recta tangente a la curva forme un ángulo de 45° con el eje OX, es decir, queremos que su pendiente tenga de valor

Esto es,

4x-3=1 \hspace{2cm} 4x=4 \hspace{2cm} x=1

 

Obtener la ordenada y encontrar el punto

 

Evaluamos el punto en y así obtenemos la ordenada del punto

 

 

Estudiar continuidad y derivabilidad

 

4 Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

Se pide:

  • Verificar que la población es función continua del tiempo.

  • Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

  • Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.

 

1 Continuidad

 

Una función constante y exponencial son continuas, por lo que claramente es continua en y .

Resta verificar si es continua en el punto

 

 

Como estos tres valores son iguales, la función es continua en 2, y con esto, es continua en todos los puntos.

 

2 Tasa de variación media en [0, 2] y [0, 4]

 

En [0, 2]

En [0, 4]

 

3 Tasa de variación instantánea en t = 4

 

La derivada está dada por la función

La derivada en t=4 es

Se ha hallado la derivada de la función exponencial mediante la fórmula inmediata.

 

5 Hallar el punto en que no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

La función es equivalente a la siguiente función

La función es claramente continua y derivable para los valores y

Sólo queda verificar si lo es en el punto

Estudiamos la continuidad en

Podemos verificar que

Y por lo tanto la función es continua en toda

 

Por otro lado, la función derivada está dada por

Estudiamos la derivabilidad en

Entonces el límite izquierdo y derecho están dados por

Como no son iguales podemos concluir que no es derivable en: .

Analizamos la gráfica

función no derivable representación gráfica

En hay un pico, por lo que no es derivable en ese punto.

 

6 Hallar los puntos en que no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

 

La función es equivalente a la siguiente función

La función es claramente continua y derivable para los valores , y

Sólo queda verificar si lo es en los puntos y

Estudiamos la continuidad en y en

Podemos verificar que

Entonces la función es continua en toda .

 

Estudiamos la derivabilidad en y

Podemos verificar que los límites laterales en

Y los límites laterales en son

Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: y .

Analizamos la gráfica

 representación gráfica de la nocion de derivabilidad

Podemos observar que en y en tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

 

7 Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

 

La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.

Estudiamos la continuidad en

El valor en la función es

Los límites laterales son

Como estos son iguales la función tiene límite en este punto y además

Por lo tanto es continua en

Veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas.

Calculamos los límites laterales de la función derivada en

Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.

 

Hallar parámetros

 

8 Dada la función:

¿Para qué valores de a es derivable?

 

Estudiamos la continuidad en

Para que sea continua los límites laterales tienen que ser iguales

Resolvemos la cuadrática

Estudiamos la derivabilidad en

Los límites laterales de la derivada son

Para que sea derivable los límites laterales tienen que ser iguales

Para ser derivable también tiene que ser continua así que sólo es derivable para , pues para no es continua

 

9 Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

 

Estudiamos la continuidad en x = 0

Para que sea continua los límites laterales tienen que ser iguales

Estudiamos la derivabilidad en x = 0

Para que sea derivable los límites laterales tienen que ser iguales

 

10 Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

 

Para qué una función sea derivable en todos sus puntos tiene que ser continua en todos sus puntos. En este caso la función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen, la función no está definida en ese punto, el resultado de a/0 no es un número real.

No existen valores de a y b que hagan continua la función.

Por tanto, no existen valores de a y b para los cuales la función sea derivable.

 

Ejercicios resueltos de cálculo de derivadas

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗