Derivabilidad y continuidad

Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

Ejemplos

Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:

1. función

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

continuidad

La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.

gráfica


2. función

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

continuidad

La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

derivada

función

Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 0.

gráfica


3. f(x) = x2 en x = 0.

La función es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

derivabilidad

En x = 0 la función es continua y derivable.

gráfica