Problemas del teorema de Bolzano y de Weiertrass

1Sea la función:

Acotación

¿Se puede afirmar que f(x) está acotada en el intervalo [1,4]?

2Dada la función f(x) = x3, estudiar si esta acotada superiormente e inferiormente en el intervalo [1, 5] e indica si alcanza sus valores máximos y mínimos.

3Sea la función f(x)= x2 + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]?

4Demuestra que la función f(x)=x2 - 4 x+ 2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2].¿Se puede decir lo mismo de la función: Bolzano ?

5Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: x3 + x − 5 = 0, tiene al menos una solución x = a tal que 1 < a < 2.

6Sea la función f(x) = x3 − x2 + x. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el interior del intervalo [1,2] tal que f(c) = 0?

7Justificar que la función polinómica f(x) = x3 + x + 1 tiene un cero comprendido entre -1 y 0.

8Demostrar que la ecuación e-x + 2 = x tiene al menos una solución real.

9Demostrar que existe algún número real x tal que sen x = x.

10Dada la función:

función

Demuestra que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que f toma el valor 1.

11Probar que la función f(x) = x + sen x − 1 es continua para toda R y probar que existe al menos una raíz real de la ecuación x + sen x − 1 = 0.

12Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y tales que f(a) > g(a) y f(b) < g(b). Demostrar que ∃ c ∈ (a, b) tal que f(a) = g(c).

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Ejercicio 1 resuelto

Sea la función:

Acotación

¿Se puede afirmar que f(x) está acotada en el intervalo [1,4]?

Por no ser continua f(x) en x = 1, la función no es continua en el intervalo cerrado [1,4], como consecuencia no podemos afirmar que la función esté acotada en dicho intervalo.

Ejercicio 2 resuelto

Dada la función f(x) = x3, estudiar si esta acotada superiormente e inferiormente en el intervalo [1, 5] e indica si alcanza sus valores máximos y mínimos.

La función es continua en el intervalo [1, 5], como consecuencia podemos afirmar que está acotada en dicho intervalo.

Por ser continua en el intervalo [1, 5] se cumple el teorema de Weierstrass, que afirma que se alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [1, 5].

Ejercicio 3 resuelto

Sea la función f(x)= x2 + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]?

x2 + 1 = 1 x=0

x2 + 1 = 5 x=2

La función es continua en toda R por ser una función polinómica.

Particularmente en el intervalo [0,2] donde se verifica que f(0) = 1 y f(2 )= 5.

Por la propiedad de Darboux, la función alcanza todos los valores comprendidos en el intervalo [1,5].

Ejercicio 4 resuelto

Demuestra que la función f(x) = x2 − 4x + 2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2].¿Se puede decir lo mismo de la función: Bolzano ?

La primera función es continua en toda R.

f(0) = 02 - 4 · 0 + 2 > 0.

f(2) = 22 - 4 · 2 + 2 < 0.

Como se cumple el teorema de Bolzano, existe al menos un c que pertenece al intervalo (0, 2) que corta al eje de abscisas.

No podemos afirmar lo mismo de la segunda función ya que no es continua en x = 1.

Ejercicio 5 resuelto

Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: x3 + x − 5 = 0, tiene al menos una solución x = a tal que 1< a <2.

f(x) es continua en [1,2]

f(1) = 13 + 1 − 5 = −3 < 0

f(2) = 23 + 2 − 5 = 5 > 0

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c ∈ (1,2) tal que:

f(c) = 0 c3 + c − 5 = 0.

Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación x3 + x − 5 = 0.

Ejercicio 6 resuelto

Sea la función f(x) = x3 − x2 + x. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el interior del intervalo [1,2] tal que f(c) = 0?

f(x) es continua en [1,2].

f(1) = z3 − 12 + 1 = 1 > 0.

f(2) = 23 − 22 + 1 = 5 > 0.

No puede aplicarse el teorema de Bolzano porque no cambia de signo.

Ejercicio 7 resuelto

Justificar que la función polinómica f(x) = x3 + x + 1 tiene un cero comprendido entre -1 y 0.

Por ser polinómica la función es continua en el intervalo [-1, 0].

f(-1) = (-1)3 + (-1) + 1 = -1 < 0.

f(0) = 0 + 0 + 1.

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c ∈ (−1, 0) tal que:

f(c) = 0

Ejercicio 8 resuelto

Demostrar que la ecuación e-x + 2 = x tiene al menos una solución real.

La función es continua en el intervalo [0, 3].

f(0) = e0 + 2 − 0 = 3 > 0.

f(3) = e3 + 2 − 3 = 3 < 0.

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c ∈ (0, 3) tal que:

f(c) = 0 e-c + 2 = c.

Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación e-x + 2 = x.

Ejercicio 9 resuelto

Demostrar que existe algún número real x tal que sen x = x.

Consideremos la función f(x) = sen x − x.

Es continua en toda R.

f(-π) = sen (-π) − (-π) = 0 + π = π > 0

f(π) = sen (π) − (π) = 0 − π = −π < 0

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c ∈ (−π. π) tal que:

f(c) = 0 sen c = c

Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación sen x = x.

Ejercicio 10 resuelto

Dada la función:

función

Demuestra que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que f toma el valor 1.

La función exponencial es positiva para toda x ∈ R, por tanto el denominador de la función no se puede anular.

Sólo hay duda de la continuidad en x = 0, que está fuera del intervalo a estudiar, por tanto f(x) es continua en [2. 4].

Tomemos la función g definida por g(x) = f(x) − 1.

g es continua en el intervalo [2. 4].

imagen

imagen

Como se cumplen las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c ∈ (2, 4) tal que:

solución

Ejercicio 11 resuelto

Probar que la función f(x) = x + sen x − 1 es continua para toda R y probar que existe al menos una raíz real de la ecuación x + sen x − 1 = 0.

La función es continua por ser la suma de funciones continuas.

f(0) = 0 + sen 0 − 1 = − 1 < 0.

f(π/2) = π/2 + sen π/2 − 1 = π/2 > 0.

Por cumplirse el teorema de Bolzano, podemos afirmar que al menos existe un valor c que pertenece al intervalo (o, π/2) tal que:

f(c) = 0 c + sen c − 1 = 0

Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación x + sen x − 1 = 0.

Ejercicio 12 resuelto

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y tales que f(a) > g(a) y f(b) < g(b). Demostrar que ∃ c ∈ (a, b) tal que f(a) = g(c).

Sea la función h definida por h(x) = f(x) − g(x).

Por ser continuas f y g en [a, b], la función h también lo es.

f(a) > g(a) h(a) = f(a) − g(a) > 0

f(b) < g(b) h(b) = f(b) − g(b) < 0.

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c ∈ (a, b) tal que:

h(c) = 0 f(c) − g(c) = 0 f(c) = g(c)

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