Problemas del teorema de Bolzano
1Sea la función:
¿Se puede afirmar que f(x) está acotada en el intervalo [1,4]?
2Dada la función f(x) = x3, estudiar si esta acotada superiormente e inferiormente en el intervalo [1, 5] e indica si alcanza sus valores máximos y mínimos.
3Sea la función f(x)= x2 + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]?
4Demuestra que la función f(x)=x2 - 4x+2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2].¿Se puede decir lo mismo de la función: 
?
5Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: x3 + x − 5 = 0, tiene al menos una solución x = a tal que 1 < a < 2.
6Sea la función f(x) = x3 − x2 + x. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el interior del intervalo [1,2] tal que f(c) = 0?
7Justificar que la función polinómica f(x) = x3 + x + 1 tiene un cero comprendido entre -1 y 0.
8Demostrar que la ecuación e-x + 2 = x tiene al menos una solución real.
9Demostrar que existe algún número real x tal que sen x = x.
10Dada la función:
Demuestra que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que f toma el valor 1.
11Probar que la función f(x) = x + sen x − 1 es continua para toda 
y probar que existe al menos una raíz real de la ecuación x + sen x − 1 = 0.
12Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y tales que f(a) > g(a) y f(b) < g(b). Demostrar que 
c 
(a, b) tal que f(a) = g(c).
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1
Sea la función:
¿Se puede afirmar que f(x) está acotada en el intervalo [1,4]?
Por no ser continua f(x) en x = 1, la función no es continua en el intervalo cerrado [1,4], como consecuencia no podemos afirmar que la función esté acotada en dicho intervalo.
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2
Dada la función f(x) = x3, estudiar si esta acotada superiormente e inferiormente en el intervalo [1, 5] e indica si alcanza sus valores máximos y mínimos.
La función es continua en el intervalo [1, 5], como consecuencia podemos afirmar que está acotada en dicho intervalo.
Por ser continua en el intervalo [1, 5] se cumple el teorema de Weierstrass, que afirma que se alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [1, 5].
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3
Sea la función f(x)= x2 + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]?
x2 + 1 = 1 x=0
x2 + 1 = 5 x=2
La función es continua en toda R por ser una función polinómica.
Particularmente en el intervalo [0,2] donde se verifica que f(0) = 1 y f(2 )= 5.
Por la propiedad de Darboux, la función alcanza todos los valores comprendidos en el intervalo [1,5].
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4
Demuestra que la función f(x) = x2 -4x+2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2].¿Se puede decir lo mismo de la función: ?
La primera función es continua en toda .
f(0) = 02 - 4 · 0 + 2 > 0.
f(2) = 22 - 4 · 2 + 2 < 0.
Como se cumple el teorema de Bolzano, existe al menos un c que pertenece al intervalo (0, 2) que corta al eje de abscisas.
No podemos afirmar lo mismo de la segunda función ya que no es continua en x = 1.
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5
Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: x3 + x − 5 = 0, tiene al menos una solución x = a tal que 1< a <2.
f(x) es continua en [1,2]
f(1) = 13 + 1 − 5 = −3 < 0
f(2) = 23 + 2 − 5 = 5 > 0
Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c (1,2) tal que:
f(c) = 0 c3 + c − 5 = 0.
Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación x3 + x − 5 = 0.
Problemas resueltos del teorema de Bolzano
6
Sea la función f(x) = x3 − x2 + x. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el interior del intervalo [1,2] tal que f(c) = 0?
f(x) es continua en [1,2].
f(1) = z3 − 12 + 1 = 1 > 0.
f(2) = 23 − 22 + 1 = 5 > 0.
No puede aplicarse el teorema de Bolzano porque no cambia de signo.
Problemas resueltos del teorema de Bolzano
7
Justificar que la función polinómica f(x) = x3 + x + 1 tiene un cero comprendido entre -1 y 0.
Por ser polinómica la función es continua en el intervalo [-1, 0].
f(-1) = (-1)3 + (-1) + 1 = -1 < 0.
f(0) = 0 + 0 + 1.
Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c (−1, 0) tal que:
f(c) = 0
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8
Demostrar que la ecuación e-x + 2 = x tiene al menos una solución real.
La función es continua en el intervalo [0, 3].
f(0) = e0 + 2 − 0 = 3 > 0.
f(3) = e3 + 2 − 3 = 3 < 0.
Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c (0, 3) tal que:
f(c) = 0 e-c + 2 = c.
Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación e-x + 2 = x.
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9
Demostrar que existe algún número real x tal que sen x = x.
Consideremos la función f(x) = sen x − x.
Es continua en toda .
f(-π) = sen (-π) − (-π) = 0 + π = π > 0
f(π) = sen (π) − (π) = 0 − π = −π < 0
Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c (−π. π) tal que:
f(c) = 0 sen c = c
Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación sen x = x.
Problemas resueltos del teorema de Bolzano
10
Dada la función:
Demuestra que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que f toma el valor 1.
La función exponencial es positiva para toda x , por tanto el denominador de la función no se puede anular.
Sólo hay duda de la continuidad en x = 0, que está fuera del intervalo a estudiar, por tanto f(x) es continua en [2. 4].
Tomemos la función g definida por g(x) = f(x) − 1.
g es continua en el intervalo [2. 4].
Como se cumplen las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c (2, 4) tal que:
Problemas resueltos del teorema de Bolzano
11
Probar que la función f(x) = x + sen x − 1 es continua para toda y probar que existe al menos una raíz real de la ecuación x + sen x − 1 = 0.
La función es continua por ser la suma de funciones continuas.
f(0) = 0 + sen 0 − 1 = − 1 < 0.
f(π/2) = π/2 + sen π/2 − 1 = π/2 > 0.
Por cumplirse el teorema de Bolzano, podemos afirmar que al menos existe un valor c que pertenece al intervalo (o, π/2) tal que:
f(c) = 0 c + sen c − 1 = 0
Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación x + sen x − 1 = 0.
Problemas resueltos del teorema de Bolzano
12
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y tales que f(a) > g(a) y f(b) < g(b). Demostrar que c (a, b) tal que f(a) = g(c).
Sea la función h definida por h(x) = f(x) − g(x).
Por ser continuas f y g en [a, b], la función h también lo es.
f(a) > g(a) h(a) = f(a) − g(a) > 0
f(b) < g(b) h(b) = f(b) − g(b) < 0.
Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c (a, b) tal que:
h(c) = 0 f(c) − g(c) = 0 f(c) = g(c)
