Ejercicios del teorema de Bolzano

1Dada la función f(x) = x3, estudiar si está acotada superiormente e inferiormente en el intervalo [1, 5] e indica si alcanza sus valores máximos y mínimos.

2Probar que la función f(x) = x + sen x − 1 es continua para toda R y probar que existe al menos una raíz real de la ecuación x + sen x − 1 = 0.

3Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y tales que f(a) > g(a) y f(b) < g(b). Demostrar que ∃ c ∈ (a, b) tal que f(c) = g(c).

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Ejercicio 1 resuelto

Dada la función f(x) = x3, estudiar si está acotada superiormente e inferiormente en el intervalo [1, 5] e indica si alcanza sus valores máximos y mínimos.

La función es continua en el intervalo [1, 5], como consecuencia podemos afirmar que está acotada en dicho intervalo.

Por ser continua en el intervalo [1, 5] se cumple el teorema de Weierstrass, que afirma que se alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [1, 5].

Ejercicio 2 resuelto

Probar que la función f(x) = x + sen x − 1 es continua para toda R y probar que existe al menos una raíz real de la ecuación x + sen x − 1 = 0.

La función es continua por ser la suma de funciones continuas.

f(0) = 0 + sen 0 − 1 = − 1 < 0.

f(π/2) = π/2 + sen π/2 − 1 = π/2 > 0.

Por cumplirse el teorema de Bolzano, podemos afirmar que al menos existe un valor c que pertenece al intervalo (o, π/2) tal que:

f(c) = 0 c + sen c − 1 = 0

Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación x + sen x − 1 = 0.

Ejercicio 3 resuelto

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y tales que f(a) > g(a) y f(b) < g(b). Demostrar que ∃ c ∈ (a, b) tal que f(c) = g(c).

Sea la función h definida por h(x) = f(x) − g(x).

Por ser continuas f y g en [a, b], la función h también lo es.

f(a) > g(a) h(a) = f(a) − g(a) > 0

f(b) < g(b) h(b) = f(b) − g(b) < 0.

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c ∈ (a, b) tal que:

h(c) = 0 f(c) − g(c) = 0 f(c) = g(c)

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