1 Dada la función , estudiar si está acotada superiormente e inferiormente en el intervalo e indica si alcanza sus valores máximos y mínimos.

La función es continua en el intervalo, como consecuencia podemos afirmar que está acotada en dicho intervalo.

Ahora bien, por ser continua en el intervalo se cumple el teorema de Weierstrass, que afirma que se alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo

2 Probar que la función es continua para todo y probar que existe al menos una raíz real de la ecuación .

La función es continua por ser la suma de funciones continuas.

Ahora bien consideremos el intervalo , y notemos que

Es decir, en los extremos tiene valores de signo contrario. Por cumplirse el teorema de Bolzano, podemos afirmar que al menos existe un valor que pertenece al intervalo tal que:

3 Sean y dos funciones continuas en y tales que y . Demostrar que tal que .

Sea la función definida por . Por ser continuas y en , la función también lo es.

Ahora bien, notemos que

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe tal que:

4 Comprobar que la siguiente función: tiene al menos una solución real en el intervalo .

Tenemos que es una función polinómica, por lo que es continua en todo , así que también es continua en el intervalo .

Ahora vamos a comprobar los signos de los valores de la función en los extremos del intervalo:

y

Ahora bien consideremos el intervalo , y notemos que

Es decir, en los extremos tiene valores de signo contrario. Por cumplirse el teorema de Bolzano, podemos afirmar que al menos existe un valor que pertenece al intervalo tal que .

5 Determina si la siguiente función tiene un máximo y/o un mínimo en el intervalo propuesto y calcula dichos puntos: .

El dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales:

De modo que la función es continua en el intervalo y verifica el teorema de Weierstrass. Así que la función tiene un mínimo absoluto y un máximo absoluto en este intervalo.

Además, el vértice de esta parábola está en , por tanto, la función es estrictamente creciente en el intervalo y, en consecuencia, el mínimo se encuentra en y el máximo en .

6 Comprobar que la ecuación tiene al menos una solución
real en el intervalo .

La ecuación al ser polinómica sabemos que es continua en . Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:

Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano , por tanto existe tal que . Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.

7 Demuestra que existe al menos un número real para el cual se verifica .

Consideremos la función , la cual es continua en .

Notemos que cumple que

es decir, cambia de signo en el intervalo . Y del teorema de Bolzano ha de existir al menos un valor tal que .

Por lo que

8 ¿Tiene alguna raíz la siguiente ecuación?:
Si la respuesta es si, determinar un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz..

Primero que nada tenemos que la función , es continua por ser suma de dos funciones continuas.

Ahora bien, probemos como se comportan los signos entre :

Con esto debido al teorema de Bolzano podemos asegurar que existe tal que , es decir la ecuación tiene al menos una raíz en el intervalo .

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,88 (8 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗