Problemas del teorema de Bolzano

1Demuestra que la función f(x) = x² − 4x + 2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2].¿Se puede decir lo mismo de la función: ?

2Sea la función:

¿Se puede afirmar que f(x) está acotada en el intervalo [1,4]?

3Sea la función f(x)= x² + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]?

4Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: x³ + x − 5 = 0, tiene al menos una solución x = a tal que 1 < a < 2.

5Sea la función f(x) = x³ − x² + 1. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el interior del intervalo [1,2] tal que f(c) = 0?

6Justificar que la función polinómica f(x) = x³ + x + 1 tiene un cero comprendido entre −1 y 0.

7Demostrar que la ecuación e^−x + 2 = x tiene al menos una solución real.

8Demostrar que existe algún número real x tal que sen x = x.

9Dada la función:

Demuestra que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que f toma el valor 1.

Problemas resueltos del teorema de Bolzano resueltos

1

Demuestra que la función f(x) = x² −4x+2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2].¿Se puede decir lo mismo de la función: ?

La primera función es continua en toda .

f(0) = 0² − 4 · 0 + 2 > 0.

f(2) = 2² − 4 · 2 + 2 < 0.

Como se cumple el teorema de Bolzano, existe al menos un c que pertenece al intervalo (0, 2) que corta al eje de abscisas.

No podemos afirmar lo mismo de la segunda función ya que no es continua en x = 1.

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2

Sea la función:

¿Se puede afirmar que f(x) está acotada en el intervalo [1,4]?

Por no ser continua f(x) en x = 1, la función no es continua en el intervalo cerrado [1,4], como consecuencia no podemos afirmar que la función esté acotada en dicho intervalo.

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3

Sea la función f(x)= x² + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]?

x² + 1 = 1 x = 0

x² + 1 = 5 x = 2

La función es continua en toda R por ser una función polinómica.

Es en el intervalo [0,2] donde se verifica que f(0) = 1 y f(2)= 5.

Por la propiedad de Darboux, la función alcanza todos los valores comprendidos en el intervalo [1,5].

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4

Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: x³ + x − 5 = 0, tiene al menos una solución x = a tal que 1< a <2.

f(x) es continua en [1,2]

f(1) = 1³ + 1 − 5 = −3 < 0

f(2) = 2³ + 2 − 5 = 5 > 0

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c (1,2) tal que:

f(c) = 0 c³ + c − 5 = 0.

Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación x³ + x − 5 = 0.

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5

Sea la función f(x) = x³ − x² + 1. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el interior del intervalo [1,2] tal que f(c) = 0?

f(x) es continua en [1,2].

f(1) = 1³ − 1² + 1 = 1 > 0.

f(2) = 2³ − 2² + 1 = 5 > 0.

No puede aplicarse el teorema de Bolzano porque no cambia de signo.

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6

Justificar que la función polinómica f(x) = x³ + x + 1 tiene un cero comprendido entre −1 y 0.

Por ser polinómica la función es continua en el intervalo [−1, 0].

f(−1) = (−1)³ + (−1) + 1 = −1 < 0.

f(0) = 0 + 0 + 1.

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c (−1, 0) tal que:

f(c) = 0

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7

Demostrar que la ecuación e^−x + 2 = x tiene al menos una solución real.

La función es continua en el intervalo [0, 3].

f(0) = e⁰ + 2 − 0 > 0.

f(3) = e^—3 + 2 − 3 < 0.

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c (0, 3) tal que:

f(c) = 0 e^−c + 2 = c.

Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación e^−x + 2 = x.

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8

Demostrar que existe algún número real x tal que sen x = x.

Consideremos la función f(x) = sen x − x.

Es continua en toda .

f(−π) = sen (−π) − (-π) = 0 + π = π > 0

f(π) = sen (π) − (π) = 0 − π = −π < 0

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c (−π. π) tal que:

f(c) = 0 sen c = c

Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación sen x = x.

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9

Dada la función:

Demuestra que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que f toma el valor 1.

La función exponencial es positiva para toda x , por tanto el denominador de la función no se puede anular.

Sólo hay duda de la continuidad en x = 0, que está fuera del intervalo a estudiar, por tanto f(x) es continua en [2. 4].

Tomemos la función g definida por g(x) = f(x) − 1.

g es continua en el intervalo [2. 4].

Como se cumplen las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c (2, 4) tal que: