Ejercicios del teorema de Bolzano

1Demuestra que la función f(x) = x2 − 4x + 2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2].¿Se puede decir lo mismo de la función: Bolzano ?

2Sea la función:

Acotación

¿Se puede afirmar que f(x) está acotada en el intervalo [1,4]?

3Sea la función f(x)= x2 + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]?

4Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: x3 + x − 5 = 0, tiene al menos una solución x = a tal que 1 < a < 2.

5Sea la función f(x) = x3 − x2 + 1. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el interior del intervalo [1,2] tal que f(c) = 0?

6Justificar que la función polinómica f(x) = x3 + x + 1 tiene un cero comprendido entre −1 y 0.

7Demostrar que la ecuación e−x + 2 = x tiene al menos una solución real.

8Demostrar que existe algún número real x tal que sen x = x.

9Dada la función:

función

Demuestra que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que f toma el valor 1.

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Ejercicio 1 resuelto

Demuestra que la función f(x) = x2 − 4x + 2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2].¿Se puede decir lo mismo de la función: Bolzano ?

La primera función es continua en toda R.

f(0) = 02 − 4 · 0 + 2 > 0.

f(2) = 22 − 4 · 2 + 2 < 0.

Como se cumple el teorema de Bolzano, existe al menos un c que pertenece al intervalo (0, 2) que corta al eje de abscisas.

No podemos afirmar lo mismo de la segunda función ya que no es continua en x = 1.

Ejercicio 2 resuelto

Sea la función:

Acotación

¿Se puede afirmar que f(x) está acotada en el intervalo [1,4]?

Por no ser continua f(x) en x = 1, la función no es continua en el intervalo cerrado [1,4], como consecuencia no podemos afirmar que la función esté acotada en dicho intervalo.

Ejercicio 3 resuelto

Sea la función f(x)= x2 + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]?

x2 + 1 = 1 x = 0

x2 + 1 = 5 x = 2

La función es continua en toda R por ser una función polinómica.

Es en el intervalo [0,2] donde se verifica que f(0) = 1 y f(2)= 5.

Por la propiedad de Darboux, la función alcanza todos los valores comprendidos en el intervalo [1,5].

Ejercicio 4 resuelto

Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: x3 + x − 5 = 0, tiene al menos una solución x = a tal que 1< a <2.

f(x) es continua en [1,2]

f(1) = 13 + 1 − 5 = −3 < 0

f(2) = 23 + 2 − 5 = 5 > 0

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c ∈ (1,2) tal que:

f(c) = 0 c3 + c − 5 = 0.

Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación x3 + x − 5 = 0.

Ejercicio 5 resuelto

Sea la función f(x) = x3 − x2 + 1. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el interior del intervalo [1,2] tal que f(c) = 0?

f(x) es continua en [1,2].

f(1) = 13 − 12 + 1 = 1 > 0.

f(2) = 23 − 22 + 1 = 5 > 0.

No puede aplicarse el teorema de Bolzano porque no cambia de signo.

Ejercicio 6 resuelto

Justificar que la función polinómica f(x) = x3 + x + 1 tiene un cero comprendido entre −1 y 0.

Por ser polinómica la función es continua en el intervalo [−1, 0].

f(−1) = (−1)3 + (−1) + 1 = −1 < 0.

f(0) = 0 + 0 + 1.

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c ∈ (−1, 0) tal que:

f(c) = 0

Ejercicio 7 resuelto

Demostrar que la ecuación e−x + 2 = x tiene al menos una solución real.

La función es continua en el intervalo [0, 3].

f(0) = e0 + 2 − 0 > 0.

f(3) = e—3 + 2 − 3 < 0.

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c ∈ (0, 3) tal que:

f(c) = 0 e−c + 2 = c.

Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación e−x + 2 = x.

Ejercicio 8 resuelto

Demostrar que existe algún número real x tal que sen x = x.

Consideremos la función f(x) = sen x − x.

Es continua en toda R.

f(−π) = sen (−π) − (-π) = 0 + π = π > 0

f(π) = sen (π) − (π) = 0 − π = −π < 0

Por cumplirse las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c ∈ (−π. π) tal que:

f(c) = 0 sen c = c

Por tanto existe al menos una solución real a la ecuación sen x = x.

Ejercicio 9 resuelto

Dada la función:

función

Demuestra que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que f toma el valor 1.

La función exponencial es positiva para toda x ∈ R, por tanto el denominador de la función no se puede anular.

Sólo hay duda de la continuidad en x = 0, que está fuera del intervalo a estudiar, por tanto f(x) es continua en [2. 4].

Tomemos la función g definida por g(x) = f(x) − 1.

g es continua en el intervalo [2. 4].

imagen

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Como se cumplen las tres propiedades anteriores según el teorema de Bolzano, existe c ∈ (2, 4) tal que:

solución

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