Estudio de la Continuidad

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

Condiciones

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

Condiciones

3. Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.

Condiciones

Continuidad lateral

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si:

Condiciones

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:

Condiciones

Continuidad de funciones

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son continuas en x=a, entonces:

f + g es continua en x = a.

f · g es continua en x = a.

f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.

f ο g es continua en x = a.

Tipos de discontinuidad

1. Discontinuidad evitable

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe límite.

Tipos

1. La función no está definida en x = a.

imagen

2. La imagen no coincide con el límite.

2

2. Discontinuidad inevitable

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

D.inevitable

Tipos

1. Discontinuidad inevitable de salto finito

La diferencia entre los límites laterales es un número real.

Discontinuidad inevitable de salto finito

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito

La diferencia entre los límites laterales es infinito.

Discontinuidad inevitable de salto infinito

3. Discontinuidad esencial

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.


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