Ejercicios de continuidad y discontinuidad

1Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

función

2Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1 Estudio de la continuidad

2 Hallar los puntos de discontinuidad

3 Estudio de la continuidad

4 Estudio de la continuidad

5 Estudio de la continuidad

6 Estudio de la continuidad

3Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

Continuidad

4¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1 función

2 función

5Encontrar los puntos de discontinuidad de la función f(x) = x2 + 1 + |2x − 1|.

6Dada la función:

función

Determinar los puntos de discontinuidad de la función.

7Estudiar la continuidad de la función:

función

8Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x

9Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

función

10Dada la función:

función

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

2 ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En caso afirmativo dar su expresión.

11Dada la función:

función

Determinar el valor de a para que la función sea continua para x = 3.

12Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

Estudio de la continuidad

13La función definida por:

función

es continua en [0, ∞).

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

14Sea la función:

Valor de a

Determinar el valor de a para que f(x) sea continua.

15Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua.

Hallar k

16Se considera la función

función

Si f(2) = 3, determinar los valores de a y b para que f(x) sea continua.

17Dada la función:

Estudio de la continuidad

Hallar a y b para que la función sea continua.

18Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea continua.

función

19Dada la función

función

Determinar a y b de modo que la función f sea continua para todo valor de x.

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Ejercicio 1 resuelto

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

función

Sólo hay duda de la continuidad de la función en los puntos x = 1 y x = 2, en los que cambia la forma de la función.

continuidad

continuidad

continuidad

En x = 1 tiene una discontinuidad de salto 1.

continuidad

continuidad

continuidad

En x = 2 tiene una discontinuidad de salto 1.

Ejercicio 2 resuelto

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1 Estudio de la continuidad

La función es continua en todos los puntos de su dominio.

D = R − {−2,2}

La función tiene dos puntos de discontinuidad en x = −2 y x = 2.

2Hallar los puntos de discontinuidad

La función es continua en toda R menos en los valores que se anula el denominador, si igualamos éste a cero y resolvemos la ecuación obtendremos los puntos de discontinuidad.

Igualamos el denominador a cero

Ruffini

x = −3; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también: x=2−√3 y x=2+√3

La función tiene tres puntos de discontinuidad en x=−3, x=2−√3 y x=2+√3

3Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

La función es continua en toda R

4Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

|−1 − (−3)| = 2

La función es discontinua inevitable de salto 2 en x = 0 .

5Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

En x = 1 hay una discontinuidad de salto finito.

6Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

La función es discontinua inevitable de salto 1/2 en x = 0.

Ejercicio 3 resuelto

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

Continuidad

f(0)=0

límite

límite

En x = 0 hay una discontinuidad esencial.

Ejercicio 4 resuelto

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1 función

función

función

función

La función es continua en x = 0.

2 función

función

función

función

En x = 0 hay una discontinuidad de salto infinito.

Ejercicio 5 resuelto

Encontrar los puntos de la función f(x) = x2 + 1+ |2x − 1| es discontinua.

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

La función es continua en toda R.

Ejercicio 6 resuelto

Dada la función:

función

Determinar los puntos de discontinuidad de la función.

La función exponencial es positiva para toda x ∈ R, por tanto el denominador de la función no se puede anular.

Sólo hay duda de la continuidad en x = 0.

Límite por la izquierda

Límite por la derecha

Resolvemos la indeterminación dividiendo por exponencial

Límite

La función es continua R − {0}.

Ejercicio 7 resuelto

Estudiar la continuidad de la función:

función

La función f(x) es continua para x ≠ 0. Vamos a estudiar la continuidad en x = 0.

límite

límite

La función no es continua en x = 0, porque no está definida en ese punto.

Ejercicio 8 resuelto

Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.

funcón

funcón

funcón

funcón

funcón

La función es continua en toda R.

Ejercicio 9 resuelto

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

función

La función función está acotada función. por tanto se verifica:

límite, ya que cualquier número multiplicado por cero da cero.

Al ser f(0) = 0.

La función es continua.

Ejercicio 10 resuelto

Dada la función:

función

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

f(5) = 0.

límite

Resolvemos la indeterminación:

límite

f(x) no es continua en x = 5 porque:

solución

2¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En caso afirmativo dar su expresión.

Si igualdad la función sería continua, luego la función redefinida es:

función

Ejercicio 11 resuelto

Dada la función:

función

Determinar el valor de a para que la función sea continua para x = 3.

límite

límite

límite

Ejercicio 12 resuelto

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Ejercicio 13 resuelto

La función definida por:

función

es continua en [0, ∞).

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

límite

límite

límite

Ejercicio 14 resuelto

Sea la función:

Valor de a

Determinar el valor de a para que f(x) sea continua.

En esta función a trozos las dos funciones parciales son continuas en sus dominios. Estudiaremos el comportamiento de la función en el punto de unión.

límite

límite

límite

Ejercicio 15 resuelto

Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua.

Hallar k

Hallar k

Hallar k

Por tanto no existe límite y, por consiguiente no se puede conseguir que f(x) sea continua en x=0, sea cual sea el valor que se le dé a k.

Ejercicio 16 resuelto

Se considera la función

función

Si f(2) = 3, determinar los valores de a y b para que f(x) sea continua.

Sólo existe duda de la continuidad en x = 1.

estudio de la continuidad

estudio de la continuidad

estudio de la continuidad

Para que la función sea continua debe cumplirse que:

estudio de la continuidad

Por otro lado tenemos que:

estudio de la continuidad

Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos que:

a = 1 b = −1

Ejercicio 17 resuelto

Estudio de la continuidad

Hallar a y b para que la función sea continua.

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Ejercicio 18 resuelto

Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea continua.

función

límite

límite

b= 1

límite

límite

3a = −2 a = −1

Ejercicio 19 resuelto

Dada la función

función

Determinar a y b de modo que la función f sea continua para todo valor de x.

límite

límite

límite

límite

límite

límite

límite

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