Ejercicios y problemas resueltos de continuidad

1Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1 Estudio de la continuidad

2 Hallar los puntos de discontinuidad

3 Estudio de la continuidad

4 Estudio de la continuidad

5 Estudio de la continuidad

6 Estudio de la continuidad

2Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

Continuidad

3Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

función

4¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1 función

2 función

5Dada la función:

función

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

2 ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En caso afirmativo dar su expresión.

6Estudiar la continuidad de la función:

función

7Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x

8Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

función

9Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

Estudio de la continuidad

10La función definida por:

función

es continua en [0, ∞).

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

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Ejercicio 1 resuelto

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1 Estudio de la continuidad

La función es continua en todos los puntos de su dominio.

D = R− {−2,2}

La función tiene dos puntos de discontinuidad en x = −2 y x = 2.

2Hallar los puntos de discontinuidad

La función es continua en toda R menos en los valores que se anula el denominador, si igualamos éste a cero y resolvemos la ecuación obtendremos los puntos de discontinuidad.

Igualamos el denominador a cero

Ruffini

x = −3; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también: x=2−√3 y x=2+√3

La función tiene tres puntos de discontinuidad en x=−3, x=2−√3 y x=2+√3

3Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

La función es continua en toda R

4Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

|−1 − (−3)| = 2

La función es discontinua inevitable de salto 2 en x = 0 .

5Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

En x = 1 hay una discontinuidad de salto finito.

6Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

La función es discontinua inevitable de salto 1/2 en x = 0.

Ejercicio 2 resuelto

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

Continuidad

f(0)=0

límite

límite

En x = 0 hay una discontinuidad esencial.

Ejercicio 3 resuelto

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

función

Sólo hay duda de la continuidad de la función en los puntos x = 1 y x = 2, en los que cambia la forma de la función.

continuidad

continuidad

continuidad

En x = 1 tiene una discontinuidad de salto 1.

continuidad

continuidad

continuidad

En x = 2 tiene una discontinuidad de salto 1.

Ejercicio 4 resuelto

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1 función

función

función

función

La función es continua en x = 0.

2 función

función

función

función

En x = 0 hay una discontinuidad de salto infinito.

Ejercicio 5 resuelto

Dada la función:

función

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

f(5) = 0.

límite

Resolvemos la indeterminación:

límite

f(x) no es continua en x = 5 porque:

solución

2¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En caso afirmativo dar su expresión.

Si igualdad la función sería continua, luego la función redefinida es:

función

Ejercicio 6 resuelto

Estudiar la continuidad de la función:

función

La función f(x) es continua para x ≠ 0. Vamos a estudiar la continuidad en x = 0.

límite

límite

La función no es continua en x = 0, porque no está definida en ese punto.

Ejercicio 7 resuelto

Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.

funcón

funcón

funcón

funcón

funcón

La función es continua en toda R.

Ejercicio 8 resuelto

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

función

La función función está acotada función. por tanto se verifica:

límite, ya que cualquier número multiplicado por cero da cero.

Al ser f(0) = 0.

La función es continua.

Ejercicio 9 resuelto

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Estudio de la continuidad

Ejercicio 10 resuelto

La función definida por:

función

es continua en [0, ∞).

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

límite

límite

límite

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