Ejercicios de la función cuadrática

Representa las funciones cuadráticas

1y = −x² + 4x − 3

2y = x² + 2x + 1

3y = x² + x + 1

4Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

1y = (x − 1)² + 1

2y = 3(x − 1)² + 1

3y = 2(x + 1)² - 3

4y = -3(x − 2)² − 5

5y = x² − 7x − 18

6y = 3x² + 12x − 5

5Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:

1y = x² − 5x + 3

2y = 2x² − 5x + 4

3y = x² − 2x + 4

4y = −x² − x + 3

6Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.

7Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (-1,1). Calcula a, b y c.

8Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación.

9Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x2, representa:

1y = x² + 2

2y = x² − 2

3y = (x + 2)²

4y = (x − 2)²

5y = (x − 2)² + 2

6y = (x + 2)² − 2

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Ejercicio 1 resuelto

Representa gráficamente la función cuadrática:

y = -x² + 4x - 3

1

1. y = −x² + 4x − 3

1. Vértice

x v = − 4/ −2 = 2     y v = −2² + 4· 2 − 3 = 1        V(2, 1)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² − 4x + 3 = 0

ecuación       (3, 0)      (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, −3)

parábola

Ejercicio 2 resuelto

Representa gráficamente la función cuadrática:

y = x² + 2x + 1

1. Vértice

x v = − 2/ 2 = −1     y v = (−1)² + 2· (−1) + 1= 0        V(− 1, 0)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² + 2x + 1= 0

ecuación Coincide con el vértice: (−1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY.

 (0, 1)

parábola

Ejercicio 3 resuelto

Representa gráficamente:

y = x² +x + 1

1. Vértice.

xv = −1/ 2     yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1= 3/4

V(−1/ 2, 3/ 4)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² + x + 1= 0

1² − 4 < 0       No hay puntos de corte con OX.

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, 1)

parábola

Ejercicio 4 resuelto

Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

1 y = (x − 1)² + 1

V = (1, 1)            x = 1

2 y = 3(x − 1)² + 1

V = (1, 1)            x = 1

3y = 2(x + 1)² − 3

V = (−1, −3)            x = −1

4y = −3(x − 2)² − 5

V = (2, −5)            x = 2

5y = x² − 7x −18

V = (7/2, −121/4)            x = 7/2

6y = 3x² + 12x − 5

V = (−2 , −17 )            x = −2

Ejercicio 5 resuelto

Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:

1 y = x² − 5x + 3

b² − 4ac = 25 − 12 > 0 Dos puntos de corte

2y = 2x² − 5x + 4

b² − 4ac = 25 − 32 < 0 No hay puntos de corte

3y = x² − 2x + 4

b² − 4ac = 4 − 4 = 0 Un punto de corte

4y = −x² − x + 3

b² − 4ac = 1 + 12 > 0 Dos puntos de corte

Ejercicio 6 resuelto

Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.

9 = 1² + a · 1 + a a = 4

Ejercicio 7 resuelto

Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (−1,1). Calcula a, b y c.

a = 1 b = 0 c = 0

Ejercicio 8 resuelto

Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación.

La cocordenada x del vértice es 1.

1 = −b /2 a b = −2 a

y = ax² + bx + c

f(0) =2

2 = c

f(1) = 1

1 = a + b + 2 1 = a − 2a + 2

a =1 b = −2

y = x2 − 2x + 2

Ejercicio 9 resuelto

9Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x2, representa:

1y = x² + 2

2y = x² − 2

3y = (x + 2)²

4y = (x − 2)²

5y = (x − 2)² + 2

6y = (x + 2)² − 2

función

y = x²

funciónfunción

y = x² + 2 y = x² − 2

funciónfunción

y = (x + 2)²y = (x − 2)²

funciónfunción

y = (x − 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2

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