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Vamos

¿Qué es la media aritmética?

En matemáticas, la media aritmética de una lista de números reales es la suma de los valores divididos por el número de valores. Por ejemplo, si queremos saber la nota media que han sacado los alumnos de una clase, primero sumaremos las calificaciones de todos ellos y después dividiremos entre el número de alumnos de la clase.

 

Ejercicios resueltos de la media aritmética

 

1Considere los siguientes datos: .

a)Calcula su media.

b)Si todos los datos anteriores los multiplicamos por . ¿Cuál será la nueva media?

Considere los siguientes datos: .
a)Calcula su media.
 

La media de un conjunto de datos está dada por la suma de los datos entre el número total de datos. Así

 
b)Si todos los datos anteriores los multiplicamos por 3. ¿Cuál será la nueva media?
 

 

Observamos que, si todos los datos son multiplicados por , entonces la media aritmética queda multiplicada por . Por lo tanto, es posible representar esta observación en la siguiente propiedad que satisface la media aritmética:

con una constante.

2A un conjunto de números cuya media es se le añaden los números y . ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

A un conjunto de números cuya media es se le añaden los números y . ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?
 
Sabemos de inicio que

Ahora bien, calculemos la media del conjunto de siete números y desarrollemos de la siguiente manera

 

Así, la media sigue siendo la misma.

 

3Calcular la media de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
 

xi 61 64 67 70 73
fi 5 18 42 27 8

La tabla indica a la variable y al número de veces que se repite en el conjunto de datos , y por esa razón debemos completar la tabla con el producto de la variable por su frecuencia absoluta   con la finalidad de tener la suma de todos los valores que se repiten  veces, y así poder sumar finalmente a todos ellos y dividirlos entre la cantidad de datos que se generó, observe la fórmula

 
Aquí el desarrollo numérico
 

xi fi xi · fi
61 5 305
64 18 1152
67 42 2814
71 27 1890
73 8 584
100 6745

 
Entonces solo basta realizar la división

Llegando al resultado deseado.

4Hallar la media de la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
 

fi
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[25, 30) 4
[30, 35) 2

Primero que todo, observemos que ahora los datos no vienen representados de la misma manera que antes, tenemos  intervalos de valores. En este caso lo que se realiza es calcular algo llamado marca de clase . Esto consiste en sacar la media entre los dos valores que definen el intervalo, por ejemplo:

y así sucesivamente con los demás intervalos.

Una vez hecho el cálculo, completamos la tabla con el producto de la variable por su frecuencia absoluta para calcular la media
 

xi fi xi · fi
[10, 15) 12.5 3 37.5
[15, 20) 17.5 5 87.5
[20, 25) 22.5 7 157.5
[25, 30) 27.5 4 110
[30, 35) 32.5 2 65
21 457.5

 

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta   que es y la dividimos entre el total de datos  que es . Así

 

5Los resultados al lanzar un dado veces vienen dados por la siguiente tabla
 

1 2 3 4 5 6
fi a 32 35 33 b 35

 
Determinar y sabiendo que la puntuación media es .

De los datos dados podemos construir la siguiente tabla
 

xi fi xi · fi
1 a a
2 32 64
3 35 125
4 33 132
5 b 5b
6 35 210
135 + a + b 511 + a + 5b

 
La suma de los datos de la columna nos da

Lo anterior lo igualamos a 200 que es una de las hipótesis del problema. Así

Simplificando obtenemos nuestra primer ecuación

Ahora calculamos la media de la distribución y la igualamos a 3.6 que es el valor que nos indica el problema

Nuevamente simplificando obtenemos nuestra segunda ecuación

Por lo tanto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

Lo resolvemos por el método de reducción

.

Por lo tanto

Así concluimos que

   y   

 

6Calcular la media de la distribución estadística:
 

fi
[0, 5) 3
[5, 10) 5
[10, 15) 7
[15, 20) 8
[20, 25) 2
[25, ∞) 6

Comenzamos calculando la
 

xi fi
[0, 5) 2.5 3
[5, 10) 7.5 5
[10, 15) 12.5 7
[15, 20) 17.5 8
[20, 25) 22.5 2
[25, ∞)  --- 6
31

 
Y aquí observamos que NO se puede calcular la media porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

 

7Considere los siguientes datos: .

a)Calcula su media.

b)Si a todos los datos anteriores le sumanos 6. ¿Cuál será la nueva media?

Considere los siguientes datos: .
a)Calcula su media.
 

La media de un conjunto de datos está dada por la suma de los datos entre el número total de datos. Así

 
b)Si a todos los datos anteriores le sumamos . ¿Cuál será la nueva media?
 

 

Observamos que, si a todos los datos le sumamos , entonces la media aritmética queda sumada por . Por lo tanto, es posible representar esta observación en la siguiente propiedad que satisface la media aritmética:

con una constante.

 

8Las alturas en cm de los jugadores que iniciaron un partido de vóleibol, separados por equipo, son las siguientes:

Equipo 1:

Equipo 2:

a)Calcula la media de cada equipo.

b)Calcula la media del partido.

Las alturas en cm de los jugadores que iniciaron un partido de vóleibol, separados por equipo, son las siguientes:

Equipo 1:

Equipo 2:

 

a)Calcula la media de cada equipo.

 
Equipo 1:

 
Equipo 2:

 

b)Calcula la media del partido.

 
Para calcular la media del partido, , calculamos la media de las medias y . Así,

 

9La mediana de un conjunto de datos es de . Si se añaden datos, uno de los cuales es , ¿qué valor debe tener el segundo dato para que la media se mantenga?

La mediana de un conjunto de datos es de . Si se añaden datos, uno de los cuales es , ¿qué valor debe tener el segundo dato para que la media se mantenga?
 

Para que la media del conjunto de datos se mantenga, los dos datos añadidos deben satisfacer que su media sea igual a . Tenemos el conocimiento de que uno de ellos es . Llamemos al segundo dato "". Por lo tanto, lo que se busca es que

Resolvemos esta ecuación de primer grado:

Así, el segundo dato debe de ser . Como podemos comprobar sencillamente, la media sigue siendo :

 

10Calcula la media de los primeros múltiplos de . Generaliza el resultado anterior para calcular la media de los primeros múltiplos de .

Calcula la media de los primeros múltiplos de . Generaliza el resultado anterior para calcular la media de los primeros múltiplos de .
 

Los primeros múltiplos de son:

Así, su media es

 

Para generalizar el resultado anterior, nótese que, el n-ésimo múltiplo de es . Así, la media es

 
Tomando el valor en la expresión de arriba, obtenemos el resultado al primer apartado del ejercicio.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗