Resumen de inecuaciones

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7
menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> mayor que 2x − 1 > 7
mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

Inecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

Resolución de inecuaciones de primer grado

Quitar paréntesis.

Quitar denominadores.

Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

Efectuar las operaciones

Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica

Como un intervalo

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.

Inecuaciones de segundo grado

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.


Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.


Si el discriminante es igual a cero:

    Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0 R
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0 R-1
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0 vacio

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R.

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

  Solución
x2 + x +1 ≥ 0 R
x2 + x +1 > 0 R
x2 + x +1 ≤ 0 vacio
x2 + x +1 < 0 vacio

Inecuaciones racionales

Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

Sistemas de inecuaciones

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

Transformamos la desigualdad en igualdad.

Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

La solución a este sistema es la intersección de las regiones que corresponden a la solución de cada inecuación.

Representamos la región solución de la primera inecuación.

Representamos la región solución de la segunda inecuación.

La solución es la intersección de las regiones soluciones.


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