Ejercicios interactivos de inecuaciones de segundo grado y racionales

Escoge la solución correcta de cada una de las siguientes inecuaciones:

1x2 − 14x + 13 > 0




Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Sol1_01

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo obtenido y evaluamos el signo en cada uno de estos intervalos:

Sol1_02

P(0) = 02 − 14 · 0 + 13 > 0

P(2) = 22 − 14 · 2 + 13 < 0

P(14) = 142 − 14 · 14 + 13 > 0

La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que el polinomio.

Sol1_03

Por tanto, la solución es:

S = (−∞, 1)∪(13, +∞).

24x2 − 20x + 25 < 0




Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Sol2_01

En este caso tenemos una raíz doble. Entonces, como Sol2_02, o lo que es lo mismo Sol2_03 y todo número elevado al cuadrado es siempre positivo, entonces la inecuación no tiene solución.

S = ∅.

364x2 + 1 + 16x > 0




Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Sol2_01

En este caso tenemos una raíz doble. Entonces, Sol3_02, o lo que es lo mismo Sol3_03

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución de la inecuación 64x2 + 1 + 16x > 0 son todos los números reales menos la raíz de la ecuación de segundo grado. Luego, Sol3_04

416x2 + 56x + 49 ≥ 0




Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Sol4_01

En este caso tenemos una raíz doble. Entonces, Sol4_02, o lo que es lo mismo, Sol4_03

Como un número elevado al cuadrado siempre es positivo la solución de la inecuación 16x2 + 56x + 49 ≥ 0 son todos los números reales. Luego,

Sol4_04

55x2 − 8 ≥ −6x




Pasando todos los términos al primer miembro de la inecuación obtenemos: 5x2 + 6x − 8 ≥ 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Sol2_01

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo obtenido y evaluamos el signo en cada uno de estos intervalos:

Sol5_02

P(−3) = 5 · (−3)2 + 6 · (−3) − 8 > 0

P(0) = 5 · 02 + 6 · 0 − 8 < 0

P(2) = 5 · 22 + 6 · 2 − 8 > 0

La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que el polinomio.

Sol5_03

Por tanto, la solución es:

S = ( −∞, −2]∪[4/5, +∞)

64x2 − 1 ≥ 0




Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Sol6_01

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo obtenido y evaluamos el signo en cada uno de estos intervalos:

Gráfica

P(−1) = 4 · (−1)2 − 1 > 0

P(0) = 4 · 0 − 1 < 0

P(1) = 4 · 1 − 1 > 0

La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que el polinomio.

Gráfica

Por tanto, la solución es:

S = (−∞, −½]∪[½, +∞)

7x2 < −1 + 2x




Pasando todos los términos al primer miembro de la inecuación obtenemos:

x2 − 2x + 1 < 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Sol7_01

En este caso tenemos una raíz doble, entonces:

Sol7_02

Como un número elevado al caudrado siempre es mayor o igual que cero, la inecuación no tiene solución.

Sol7_03

8x2 + x ≤ 6




Pasando todos los términos al primer miembro de la inecuación obtenemos: x2 + x − 6 ≤ 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Sol2_01

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo obtenido y evaluamos el signo en cada uno de estos intervalos:

Sol8_02

P(−4) = (−4)2 + (−4) − 6 > 0

P(0) = 02 + 0 − 6 < 0

P(3) = 32 + 3 − 6 > 0

La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que el polinomio.

Sol8_03

Por tanto, la solución es:

S = [−3, 2].

9Ej01




Ej01

Pasamos el 5 al primer miembro, pasamos a común denominador la expresión resultante y efectuamos las operaciones:

Sol9_01

Hallamos las raíces del numerador y del denominador:

Sol9_02

Escogemos un punto de los tres intervalos que determinan las raíces del numerador y el denominador que son (−∞, −9), (−9, −5) y (−5, +∞) y evaluamos el signo:

Esquema1

Sol9_03

Como tenemos un mayor o igual en la inecuación original tendremos que tener en cuenta las raíces del numerador a la hora de dar la solución, es decir, el −9 forma parte de la solución final. Hay que tener cuidado de excluir siempre las raíces del denominador, es decir, el −5 no forma parte de la solución final.

Esquema2

S = [−9, −5)

10Ej01




Ej01

Pasamos el 1 al primer miembro, pasamos a común denominador la expresión resultante y efectuamos las operaciones:

Sol10_01

Hallamos las raíces del numerador y del denominador:

Guión −x2 + 9x − 18 = 0

Sol10_02

Guiónx2 − 5x + 6 = 0

Sol10_03

Escogemos un punto de los cuatro intervalos que determinan las raíces del numerador y el denominador que son (−∞, 2), (2, 3), (3, 6) y (6, +∞) y evaluamos el signo:

Esquema1

Sol10_03

Como tenemos un menor en la inecuación original no tendremos en cuenta las raíces del numerador.

Esquema2

S = (−∞, 2) ∪ (6, +∞)

Si tienes dudas puedes consultar la teoría