Inecuaciones de segundo grado y racionales

Inecuaciones de 2º grado

Consideremos la inecuación:

x2 − 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

x2 − 6x + 8 = 0

solución a la ecuación


Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

gráfica

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

gráfica

S = (-∞, 2) Unión (4, ∞)


Consideremos el caso en que discriminante es cero.

x2 + 2x +1 ≥ 0

x2 + 2x +1 = 0

solución

(x + 1)2 ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R

    Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0 R
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0 R-1
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0 vacio

Consideremos el caso en que discriminante es menor que cero.

x2 + x +1 > 0

x2 + x + 1 = 0

solución


Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R.

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

  Solución
x2 + x +1 ≥ 0 R
x2 + x +1 > 0 R
x2 + x +1 ≤ 0 vacio
x2 + x +1 < 0 vacio

 

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

Tomaremos como ejemplo al inecuación:

inecuación

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

x − 2 = 0      x = 2

x − 4 = 0      x = 4

Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

gráfica

inecuación

signos

signos

signos

gráfica

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

S = (-∞, 2] Unión (4, ∞)


Veamos otro ejemplo con la inecuación:

inecuación

Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.

inecuación


Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

−x + 7 = 0      x = 7

x − 2 = 0        x = 2

Evaluamos el signo:

signos

signos

signos

solución gráfica

S = (-∞, 2) Unión (7, ∞)


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