Fórmulas para resolver inecuaciones

Inecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

Pasos para resolver inecuaciones de primer grado

Quitar paréntesis.

Quitar denominadores.

Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

Efectuar las operaciones

Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica

Como un intervalo

Pasos para resolver sistemas de inecuaciones con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.

Pasos para resolver inecuaciones de segundo grado

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

Si el discriminante es igual a cero:

    Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0 R
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0 R-1
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0 vacio

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R.

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

  Solución
x2 + x +1 ≥ 0 R
x2 + x +1 > 0 R
x2 + x +1 ≤ 0 vacio
x2 + x +1 < 0 vacio


Pasos para resolver inecuaciones racionales

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas para que no se pueda anular el denominador.

Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

Sistemas de inecuaciones

Pasos para resolver inecuaciones lineales con dos incógnitas

Transformamos la desigualdad en igualdad.

Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

Pasos para resolver sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Representamos la región solución de la primera inecuación.

Representamos la región solución de la segunda inecuación.

La solución es la intersección de las regiones soluciones.