Bienvenidos a nuestra sección dedicada a la resolución de Problemas de Ecuaciones Cuadráticas. Las ecuaciones cuadráticas representan un componente esencial de las matemáticas, y su comprensión y manejo son cruciales para abordar desafíos matemáticos complejos. En esta guía, le proporcionaremos una orientación paso a paso sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas.

El proceso de resolver una ecuación cuadrática comienza al igualar una expresión polinómica de segundo órden a cero, seguido de la aplicación de métodos rigurosos como la factorización, la fórmula cuadrática o el método de completar el cuadrado para determinar las soluciones. A medida que avanzamos en este proceso, desvelamos las soluciones matemáticas inherentes a situaciones complejas.

Encuentra la ecuación cuadrática

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1 Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.

1Como conocemos las raíces de la ecuación, podemos escribir ésta como:

Siendo la suma de las raíces y el producto de las raíces

2Calculamos y

3La ecuación de segundo grado buscada es

2 Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: y

1Ahora, ambas raíces son positivas, por lo que consideramos la ecuación:

Siendo la suma de las raíces y el producto de las raíces

2Calculamos y

3La ecuación de segundo grado buscada es


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Factorización

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3 Factorizar

1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

Las raíces son

2Conociendo las raíces de la ecuación podemos factorizar de este modo:

3Así, la factorización buscada es

4 Factorizar

1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

2Conociendo las raíces de la ecuación podemos factorizar de este modo:

3Así, la factorización buscada es


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Encontrar el valor k

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5 Determinar de modo que en la ecuación  las raíces sean iguales.

1Para que las dos raíces sean iguales, el discriminante tiene que ser igual a cero.Calculamos el discriminante

2Igualamos el resultado a cero

3Igualamos cada factor a cero y buscamos los valores de que hacen que las raíces sean guales

6 Determinar de modo que en la ecuación  las raíces sean iguales.

1Para que las dos raíces sean iguales, el discriminante tiene que ser igual a cero. Calculamos el discriminante

2Igualamos el resultado a cero

3Igualamos cada factor a cero y buscamos los valores de que hacen que las raíces sean guales


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Encuentra los valores que se te piden

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7La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

1Si conocieramos las raíces de la ecuación, podríamos escribir ésta como:

Siendo la suma de las raíces y el producto de las raíces

2Sabemos que y , por lo que obtenemos

3Resolvemos la ecuación de segundo grado

Las raíces son

Así, los números buscados son y

8La suma de dos números es -4 y su producto es -21. Halla dichos números.

1Si conocieramos las raíces de la ecuación, podríamos escribir ésta como:

Siendo la suma de las raíces y el producto de las raíces

2Sabemos que y , por lo que obtenemos

3Resolvemos la ecuación de segundo grado

Las raíces son

Así, los números buscados son y


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Ejercicio para calcular edades

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9Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

1Designamos las variables para el ejercicio:

Edad actual

Edad hace 13 años

Edad dentro de 11 años

2Escribimos la ecuación correspondiente:

3Elevamos el binomio al cuadrado, quitamos denominadores y obtenemos la ecuación

4Resolvemos la ecuación

Las raíces son

no es una solución válida porque entonces ¿qué edad tendría hace 13 años?

Así, la edad actual es años

10Dentro de 9 años, la edad de Ana será igual a un cuarto del cuadrado de la edad que tenía hace 15 años. ¿Cuál es la edad actual de Ana?

1Designamos las variables para el ejercicio:

Edad actual

Edad hace 15 años

Edad dentro de 9 años

2Escribimos la ecuación correspondiente:

3Elevamos el binomio al cuadrado, quitamos denominadores y obtenemos la ecuación

4Resolvemos la ecuación

Las raíces son

La edad en este contexto no tiene sentido, ya que estamos hablando de una persona que existió al menos 15 años. Entonces, Ana tiene 27 años.


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Cálculo de un terreno

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11Para vallar una finca rectangular de se han utilizado de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

1Representamos el terreno

Figura cuya área representa una ecuación cuadrática

donde

Semiperímetro

Base

Altura

2El área es igual a base por altura

3Quitamos paréntesis y hallamos las raíces

y

Así, las dimensiones de la finca son:

base y altura

base  y altura

12Para vallar una finca rectangular de , se han utilizado de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

1Representamos el terreno

Figura cuya área representa una ecuación cuadrática

donde

Semiperímetro

Base

Altura

2El área es igual a base por altura

3Desarrollamos el producto y obtenemos la ecuación

Entonces, usamos la fórmula cuadrática para encontrar las raíces:

Entonces, las raíces son

Así, las dimensiones de la finca son:

base y altura , o, de manera equivalente,

base  y altura


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Triángulos proporcionales

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13Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números y . Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es .

1Representamos los datos proporcionados

Ejercicio sobre proporcionalidad de triángulos

Primer lado (base)

Segundo lado (altura)

Tercer lado

2Aplicamos la fórmula del área de un triángulo

3Quitamos denominadores y resolvemos la ecuación

no es solución porque un lado no puede tener una longitud negativa. Así las soluciones son:

Primer lado

Segundo lado

Tercer lado

14Dos lados de un triángulo isósceles son proporcionales a 10, y el lado restante a 12. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es

1Representamos los datos proporcionados

Ejercicio sobre proporcionalidad de triángulos

Lados iguales:

Lado distinto: (base)

Para obtener una fórmula con respecto a del área del triángulo, primero debemos encontrar la altura . Por el Teorema de Pitágoras,

Entonces,

.

2Aplicamos la fórmula del área de un triángulo

3Despejamos para :

Como no podemos tener lados de longitud negativa, la respuesta correcta es . Es decir, nuestro triángulo tiene base y lados .


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Calcula el área del jardín

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15Un jardín rectangular de de largo por de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es .

1Representamos los datos proporcionados

Rectángulo cuya área representa una ecuación de 2do grado

Llamaremos a la anchura del camino

2 será igual al área total del conjunto menos el área del jardín

3Quitamos paréntesis, operamos y simplificamos la ecuación dividiendo por 4 en los dos miembros

Así, la anchura del camino es .

no es una solución porque las distancias han de ser positivas.

16Una zanja tiene de de ancho y de largo. Si queremos agregar césped alrededor de la zanja, y que tenga un área total de de , ¿cuán ancho debe ser este márgen de césped?

1Representamos los datos proporcionados

Rectángulo cuya área representa una ecuación de 2do grado

Sea la anchura del márgen de pasto.

2 será igual al área total del conjunto sin la zanja:

3Expandimos el producto de polinomios y simplificamos la expresión:

Las raíces son entonces y . Como estamos tratando con distancias (parámetro positivo), solamente la primera solución tiene sentido. Entonces, necesitamos un márgen de de pasto.


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Criterio de semejanza en rectángulos

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17Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide , sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden y respectivamente.

1Los lados tienen en común el 12, por lo que empleando la semejanza se tiene

Base

Altura

Ejercicio de dimensiones de un triangulo conociendo la diagonal

2Aplicamos el teorema de Pitágoras

3Resolvemos la última ecuación y obtenemos . Así, las dimensiones del rectángulo solicitado son:

Base

Altura

18Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide , sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden y respectivamente.

1Los lados tienen en común el 5, por lo que empleando la semejanza se tiene

Base

Altura

Ejercicio de dimensiones de un rectanglo conociendo la diagonal

2Aplicamos el teorema de Pitágoras

Es decir, la base mide y la altura


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Calcula el numero que se te indica

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19Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .

1Consideramos

Número:

Inverso del número:

2Realizamos la suma indicada

3Resolvemos la ecuación racional

Las soluciones de la ecuación son y

El número pedido es , pues  no es solución porque no es un número entero.

20Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .

1Consideramos

Número:

Inverso del número:

2Realizamos la suma indicada

3Resolvemos la ecuación racional

Las soluciones de la ecuación son y . Sin embargo, sustituir en la expresión inicial no expresa lo que necesitamos. Por lo tanto, la respuesta es .


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Estructura la ecuación cuadrática y calcula

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21Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

1Consideramos

Primer número

Segundo número

Expresamos la suma de los cuadrados

2Elevamos el binomio al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo en los dos miembros por 2

3Las soluciones de la ecuación son y

Primer número

segundo número

no es solución a nuestro problema porque no es un número natural

22Dos números naturales se diferencian en cinco unidades y la suma de sus cuadrados es 277. ¿Cuáles son esos números?

1Sea el primer número y el segundo. Expresamos su suma de cuadrados como

2Elevamos el binomio al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación:

3Las soluciones de la ecuación son y . Como -14 no es un número natural, tomamos . Entonces, 9 y 14 son los números requeridos.


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Calcular tiempo de llenado de una piscina

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23Dos caños y llenan juntos una piscina en dos horas, lo hace por sí solo en tres horas menos que . ¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?

1Consideramos

Tiempo de   

Tiempo de   

2En una hora ocurre lo siguiente:

También sabemos que en una hora, los 2 caños juntos llenan media piscina

3Sustituimos:

Tenemos una ecuación racional; para resolver primero tenemos que quitar denominadores

Así, las posibles soluciones son y , pero esta última no es solución ya que el tiempo sería negativo.

4Comprobamos que es una solución:

Al cabo de una hora, ocurre que:

Al cabo de 2 horas:

Entonces, en 2 horas la piscina se habrá llenado

La piscina estará completamente llena al cabo de 2 horas. Así, el tiempo solicitado es:

Tiempo de

Tiempo de

24Dos caños y llenan juntos una piscina en seis horas, lo hace por sí solo en cinco horas menos que . ¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?

1Sea el tiempo (en horas) que tarda en llenar la piscina. Entonces, tarda en llenar la piscina. En otras palabras, el grifo vierte de la capacidad total de la piscina por hora. Similarmnte, el grifo vierte de la capacidad total de la piscina por hora. También sabemos que en una hora, los 2 caños juntos llenan un quinto de la piscina:

Tenemos una ecuación racional; por lo que la simplificamos para deshacernos de los denominadores:

Así, las posibles soluciones son y , pero esta última no es solución ya que el tiempo sería negativo.

4Comprobamos que es una solución al problema. Es decir, debe ocurrir que en 6 horas, los grifos llenan la piscina:


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Encuentra los valores que se indican

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25Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres
números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

1Representamos los datos proporcionados

Ejercicio de triangulo mediante números consecutivos

Primer cateto

Segundo cateto

Hipotenusa

2Aplicamos el teorema de Pitágoras

3Elevamos los binomios al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo en los dos miembros por 4

4Las soluciones de la ecuación son y . Así, las medidas solicitadas corresponden a

Primer cateto

Segundo cateto

Hipotenusa

No consideramos porque las distancias son positivas

26Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros de tres números múltiplos de 5, consecutivos (por ejemplo, ). Halla los valores de dichos lados.

1Representamos los datos proporcionados

Ejercicio de triangulo mediante números consecutivos

Recordemos que un múltiplo de 5 puede ser escrito como , donde representa un número entero. Entonces, nuestro triángulo tiene las siguientes medidas:

Primer cateto

Segundo cateto

Hipotenusa

2Aplicamos el Teorema de Pitágoras:

3Elevamos los binomios al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo todo por 25

4Las soluciones de la ecuación son y . Así, las medidas solicitadas corresponden a

Primer cateto

Segundo cateto

Hipotenusa

No consideramos porque las distancias son positivas


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Cálculo de un volumen

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27Una pieza rectangular es más larga que ancha. Con ella se construye una caja de cortando un cuadrado de de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

1Representamos los datos proporcionados

Caja para calculo de dimensiones

Ancho:

Largo:

Alto:

2El volumen de la caja, que es prisma rectangular, es:

       (x − 12) · (x −8) = 140

3Resolvemos la ecuación anterior

Las soluciones de la ecuación son y . Así, las medidas solicitadas son

Ancho:

Largo:

La solución la rechazamos porque una longitud no puede ser negativa

28Una pieza rectangular es más corta que ancha. Con ella se construye una caja de cortando un cuadrado de de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

1Representamos los datos proporcionados

Caja para calculo de dimensiones

Ancho:

Largo:

Alto:

2El volumen de la caja, que es prisma rectangular, es:

3Resolvemos la ecuación anterior

Las soluciones de la ecuación son y . Así, las medidas solicitadas son

Ancho:

Largo:

La solución la rechazamos porque una longitud no puede ser negativa


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Llenando un deposito

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29Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

1Consideramos

Tiempo del primero:

Tiempo del segundo:

2En una hora ocurre lo siguiente:

También sabemos que en una hora y 20 minutos, esto es en de hora los 2 caños juntos llenan un depósito

3Sustituimos:

Tenemos una ecuación racional; para resolver primero tenemos que quitar denominadores

Así, las posibles soluciones son y , pero esta última no es solución ya que el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo.

4Así, los tiempos empleados son:

Tiempo del primero

Tiempo del segundo

30Un caño tarda cinco horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 3 horas y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

1Sea el tiempo que tarda el primer caño en llenar el depósito. Entonces, el segundo tarda . En una hora, el primer caño llena de la cantidad máxima del depósito, mientras que el segundo llena .

También sabemos que en tres hora y 20 minutos, ese decir, de hora, los 2 caños juntos llenan el depósito por completo.

3Sustituimos:

Tenemos una ecuación racional; para resolver, primero tenemos que quitar denominadores

Así, las posibles soluciones son y , pero esta última no es solución ya que el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo.

4Así, los tiempos empleados son:

Tiempo del primero

Tiempo del segundo

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗