Problemas de ecuaciones de segundo grado

1Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.

2Factorizar:

3Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x² − kx + 36 = 0 sean iguales.

4 La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

5 Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

6Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

7Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

8Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

9Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

10Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .

11Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

12Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

13Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

14Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm³ cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

15Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

Problemas resueltos de ecuaciones de segundo grado

1

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.

S= 3 − 2 = 1

P = 3 · 2 = 6

x² − x + 6 = 0

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

2

Factorizar:

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

3

Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x² − kx + 36 = 0 sean iguales.

b² − 4ac = 0

k² − 4 · 36 = 0          k² = 144

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

4

La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

x² − Sx + P = 0

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

5

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

Edad actual x

Edad hace 13 años x −13

Edad dentro de 11 años x + 11

Edad actual 21

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

6

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

Semiperímetro 55

Base x

Altura 55 − x

x · (55 − x) = 750

x² − 55x + 750 = 0

x = 25      x = 30

Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m .

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

7

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

1^er lado (base) 3x

2º lado (altura) 4x

3^er lado 5x

1^er lado 6 m

2º lado 8 m

3^er lado 10 m

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

8

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540

4x² + 168x − 540 = 0        x² + 42x − 135 = 0

x = 3 y x = −45

La anchura del camino es 3 m .

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

9

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

Base 48x : 12 = 4x

Altura 36x : 12 = 3x

(4x)² + (3x)² = 75²

25x² = 5625

x² = 225      x = 15

Base 4 · 15 = 60 m

Altura 3 · 15 = 45 m

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

10

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

11

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

1^er número x

2º número x + 2

1^er número 16

2º número 18

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

12

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

Tiempo de A x

Tiempo de B x+ 3

A

B

A y B

Tiempo de A 3 horas

Tiempo de B 6 horas

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

13

Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

1^ercateto 2x

2º cateto 2x + 2

Hipotenusa 2x + 4

(2x)² + (2x + 2)² = (2x + 4)²

4x² + 4x² + 8x + 4 = 4x² + 16x + 16

4x² − 8x − 12 = 0         x² − 2x − 3 = 0

x = 3 y x= −1

1^ercateto 6 cm

2º cateto 8 cm

Hipotenusa 10 cm

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

14

Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm³ cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

6 (x − 12) · (x + 4 −12) = 840       (x − 12) · (x −8) = 140

x² − 20x − 44 = 0    x = 22 y x= −2

Las dimensiones son: 26 cm y 22 cm.

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

15

Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

Tiempo del 1º x

Tiempo de 2º x − 2

1º

2º

Entre los dos

Tiempo del 1º 4 horas

Tiempo de 2º 6 horas

no es una solución, porque el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo.