¡Bienvenidos a nuestra página dedicada a problemas y ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado! En esta ocasión, exploraremos el fascinante mundo de las ecuaciones cuadráticas y te proporcionaremos las herramientas necesarias para comprender y resolver estos fundamentales problemas matemáticos.

Las ecuaciones de segundo grado son una parte fundamental de las matemáticas y tienen una amplia aplicación en diversos campos, como la física, la economía y la ingeniería. Estas ecuaciones se caracterizan por tener una incógnita elevada al cuadrado y pueden tener una o dos soluciones reales.

Aquí, exploraremos una amplia variedad de problemas, desde problemas de factorización hasta problemas de aplicación de la fórmula general, y te proporcionaremos explicaciones claras y detalladas para cada paso del proceso de resolución. También, utilizaremos estas técnicas para resolver situaciones del mundo real.

Nuestro objetivo es ayudarte a desarrollar tu comprensión de las ecuaciones de segundo grado, fortalecer tus habilidades de resolución de problemas y fomentar tu confianza en las matemáticas. ¡Así que prepárate para sumergirte en el emocionante mundo de las ecuaciones cuadráticas y descubrir todo lo que pueden ofrecerte!

 

1Resuelve las siguientes ecuaciones:

1

 

Puede resolverse utilizando la fórmula general o el método de factorización. Aplicando el método de factorización:

 

 

2

 

Aplicando el método de factorización:

 

 

3

 

Aplicando el método de factorización:

 

 

4

 

Aplicando el método de factorización:

 

 

 

2Resuelve las siguientes ecuaciones:

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1

 

Aplicando el método de factorización:

 

 

2

 

Se escribe el segundo miembro con un común denominador y se hace un producto alternado entre cada miembro por los denominadores. Después, se aplica el método de factorización:

 

 

 

3Resuelve las siguientes ecuaciones:

1

 

Aplicando el método de factorización, por ejemplo:

 

 

 

2

 

Aplicando el método de factorización:

 

 

4Resuelve las siguientes ecuaciones:

1

 

Primero se despeja la raíz de la ecuación. Después, se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se desarrollan las potencias y se resuelve.

 

 

 

2

 

Se despeja la raíz de la ecuación. Después, se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se desarrollan las potencias y se resuelve por la fórmula general.

 

 

 

 

 

5Hallar las raíces de:

1

 

Se emplea la división sintética pues la ecuación es de tercer grado. Los divisores de son Así:

 

 

Entonces, la factorización es Por tanto:

 

 

2

 

Se emplea la división sintética pues la ecuación es de tercer grado. Los divisores de son Así:

 

 

Entonces, la factorización es Al calcular el discriminante del trinomio, se concluye que no tiene raíces pues es negativo el resultado. Entonces sólo tiene una solución.

 

 

3

 

Se emplea la división sintética pues la ecuación es de tercer grado. Los divisores de son Así:

 

 

Entonces, la factorización es Se resuelve la ecuación cuadrática por la fórmula general:

 

 

 

6Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

 

1

 

Se construye la matriz de coeficientes asociada al sistema y se reducen las columnas y renglones.

 

 

Entonces, Traduciendo la matriz última al sistema de ecuaciones asociado, se tiene que pues:

 

 

2

 

Se despeja una incógnita en la primera ecuación y se sustituye la expresión resultante en la segunda. Después, se resuelve la ecuación cuadrática.

 

 

 

3

 

Se despeja una incógnita en la primera ecuación y se sustituye la expresión resultante en la segunda. Después, se resuelve la ecuación cuadrática.

 

 

 

4

 

Se sustituye la expresión que representa a en la segunda ecuación. Después se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación y se resuelve.

 

 

 

7Determinar el valor de para que las soluciones de la ecuación sean el mismo valor.

Se calcula el discriminante y se iguala a cero. Así, se obtiene una raíz doble.

 

Los valores posibles del coeficiente del término lineal son

 

8Hallar el valor de dos números cuya suma sea cinco y su producto

 

Las parejas de números son y .

9Determinar la edad de Pedro sabiendo que dentro de años tendra la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace años.

Si se considera como la edad que tiene actualmente, hace años tenía y dentro de años tendrá :

 

 

Por tanto, Pedro tiene años.

 

10Para cercar una finca rectangular de se han utilizado de malla ciclónica. Calcular las dimensiones de la finca.

Dividiendo entre dos la cantidad de malla utilizada se obtiene el semiperímetro de la finca, . Por tanto, el problema puede modelarse con las expresiones de la imagen:

 

 

La finca tiene dimensiones de y

 

11Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números Calcular la longitud de cada lado del tríángulo sabiendo que tiene un área de

Las medidas de los lados del triángulo se obtienen multiplicando por un factor los lados del triángulo rectángulo de la imagen. A partir de la fórmula para calcular el área puede conocerse dicho factor.

 

 

Los lados del triángulo son y

 

12Un jardín rectangular de de largo por de ancho está rodeado por un camino de arena de ancho uniforme. Calcular la anchura de dicho camino si se sabe que tiene un área de

Al considerar un ancho del camino de arena, se tiene un rectángulo más grande de dimensiones por , como lo indica la figura. Ahora, se expresa el área del camino de arena.

 

 

Por tanto, el camino tiene de largo.

 

13Calcular las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide sabiendo que es semejante a otro rectángulo de por

Como el rectángulo de por es semejante al rectángulo de por también lo será el rectángulo cuya diagonal mide . Se asume, entonces, que sus lados son proporcionales por un factor , como lo muestra la imagen. Se aplica el teorema de Pitágoras y se halla el valor de la incógnita.

 

 

Por tanto, el rectángulo tiene de largo por de ancho.

 

14Hallar un número entero sabiendo que la suma con su inverso es

 

 

El número es cinco pues la segunda raíz da como resultado una fracción.

 

15Calcular dos números naturales cuya diferencia es dos y la suma de sus cuadrados es

Dado que la diferencia de estos números es dos, si denota un número, el segundo será

 

Los números son y

 

16Dos mangueras A y B llenan juntas una piscina en dos horas. A lo hace por sí sola en tres horas menos que B. Calcular cuántas horas tarda a cada una en llenar la piscina.

Si la manguera A tarda horas en llenar la piscina, la manguera B tardará horas en llenarla. Entonces, cada hora, A llevará llenada partes de la piscina llenada y B, partes. Como al usar ambas mangueras se llena la piscina por completo, se tiene que:

 

 

La manguera A tarda horas en llenar la piscina y la manguera B, horas.

 

17Hallar dos números tales que su producto es cuatro y la suma de sus cuadrados es diecisiete.

Se formula el sistema de ecuaciones de dos incógnitas y se resuelve.

 

 

Las parejas de números posibles son y

 

18Hallar una fracción equivalente a cuyos términos elevados al cuadrado sumen

Se formula el sistema de ecuaciones de dos incógnitas y se resuelve.

 

 

 

Las fracción que satisface lo solicitado es , pues en se cancelan los signos negativos y se obtiene la primera fracción.

 

19El cliente de un supermercado ha pagado un total de por L de leche, kg de jamón serrano y L de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que un litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que un kilogramo de jamón cuesta lo mismo que comprar L de aceite más L de leche.

Se denotan con los costos de la leche, el jamón serrano y el aceite de oliva, respectivamente. Se forma el sistema de ecuaciones relacionado y se resuelve.

 

 

La leche tiene un costo de el litro, el jamón serrano de el kilogramo y el aceite de oliva, el litro.

 

20Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:

El de las películas infantiles más el de las del oeste representan el del total de las películas.
El de las películas infantiles más el de las del oeste más del de las de terror al representan la mitad del total de las películas.

Hallar el número de películas de cada tipo sabiendo que hay películas más del oeste que infantiles.

Se denotan con las películas infantiles, las del oeste y las de terror, respectivamente. Se forma el sistema de ecuaciones relacionado y se resuelte.

 

Simplificando el sistema de ecuaciones, se tiene

 

 

El videoclub tiene películas infantiles, del oeste y de terror.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗