Ecuaciones de segundo grado. Ejercicios
1 Resuelve las siguientes ecuaciones:
1 7x2 + 21x − 28 = 0
2 −x2 + 4x − 7 = 0
3 12x2 − 3x = 0
4
2Halla las soluciones de las ecuaciones:
1
2
3Resuelve:
1x4 − 61x2 + 900 = 0
2x4 − 25x2 + 144 = 0
4 Resuelve:
1
2
5 Hallar las raíces de:
1 2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0
2x3 − x2 − 4 = 0
36x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0
6Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1
2
3
4
7 Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.
8 La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
9 Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
10 Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.
11Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
12Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
13 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
14
Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es 
.
15 Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?
16 Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?
17 El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?
18Halla una fracción equivalente a 
cuyos términos elevados al cuadrado sumen 1184.
19Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.
20Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.
Ecuaciones de segundo grado. Ejercicios y problemas resueltos
1
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1 7x2 + 21x − 28 = 0
x2 +3x − 4 = 0
2 −x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0
x2 − 4x + 4 = 0
312x2 − 3x = 0
4x2 − x = 0
x · (4x −1) = 0
x = 0
4x − 1 = 0 x = 1/4
4
Ecuaciones de segundo grado. Ejercicios y problemas resueltos
2
Resuelve:
1
2
Ecuaciones de segundo grado. Ejercicios y problemas resueltos
3
Resuelve:
1x4 − 61x2 + 900 = 0
2x4 − 25x2 + 144 = 0
Ecuaciones de segundo grado. Ejercicios y problemas resueltos
4
Resuelve:
1
2
Ecuaciones de segundo grado. Ejercicios y problemas resueltos
5
Hallar las raíces de:
1 2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0
P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0
(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 ) = 0
P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0
(x −1 )2 · (2x −3 ) = 0
Las raíces son: x = 3/2 y x = 1
2x3 − x2 − 4 = 0
{±1, ±2, ±4 }
P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0
P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0
x2+ x + 2 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0
Raíz: x = 2.
36x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0
{±1, ±2}
P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0
P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0
P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0
P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0
(x+2) · (6x2 −5x +1) = 0
6x2 −5x +1 = 0
6 (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3) = 0
Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3
Ecuaciones de segundo grado. Ejercicios y problemas resueltos
6
6Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1
2
3
4
Ecuaciones de segundo grado. Ejercicios y problemas resueltos
7
Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.
b2 − 4ac = 0
k2 − 4 · 36 = 0 k2 = 144
Ecuaciones de segundo grado. Ejercicios y problemas resueltos
8
La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
x2 − Sx + P = 0
Ecuaciones de segundo grado. Ejercicios y problemas resueltos
9
Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
Edad actual
x
Edad hace 13 años x −13
Edad dentro de 11 años x + 11
Edad actual 21
Ecuaciones de segundo grado. Ejercicios y problemas resueltos
10
Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.
Semiperímetro 55
Base x
Altura 55 − x
x · (55 − x) = 750
x2 − 55x + 750 = 0
x = 25 x = 30
Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m .
Ecuaciones de segundo grado. Ejercicios y problemas resueltos
11
Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
1er lado (base) 3x
2º lado (altura) 4x
3er lado 5x
1er lado 6 m
2º lado 8 m
3er lado 10 m
Ecuaciones de segundo grado. Actividades
12
Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540
4x2 + 168x − 540 = 0 x2 + 42x − 135 = 0
x = 3 y x = −45
La anchura del camino es 3 m .
Ecuaciones de segundo grado. Actividades
13
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
Base 48x : 12 = 4x
Altura 36x : 12 = 3x
(4x)2 + (3x)2 = 752
25x2 = 5625
x2 = 225 x = 15
Base 4 · 15 = 60 m
Altura 3 · 15 = 45 m
Ecuaciones de segundo grado. Actividades
14
Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .
Ecuaciones de segundo grado. Actividades
15
Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?
1er número x
2º número x + 2
1er número 16
2º número 18
Ecuaciones de segundo grado. Actividades
16
Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?
Tiempo de A x
Tiempo de B x+ 3
A 
B 
A y B 
Tiempo de A 3 horas
Tiempo de B 6 horas
Ecuaciones de segundo grado. Examen resuelto
17
Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.
leche x
jamón y
aceite z
leche 1 €
jamón 16 €
aceite 3 €
Ecuaciones de segundo grado. Examen resuelto
18
Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.
infantiles x
oeste y
terror z
infantiles 500 películas
oeste 600 películas
terror 900 películas
Ecuaciones de segundo grado. Examen resuelto
19
El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?
Ecuaciones de segundo grado. Examen resuelto
20
Halla una fracción equivalente a cuyos términos elevados al cuadrado sumen 1184.
