Ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones de segundo grado

1Resuelve las siguientes ecuaciones:

17x2 + 21x − 28 = 0

2−x2 + 4x − 7 = 0

312x2 − 3x = 0

4ecuación

2Halla las soluciones de las ecuaciones:

1ecuación

2ecuación

3Resuelve:

1x4 − 61x2 + 900 = 0

2x4 − 25x2 + 144 = 0

4Resuelve:

1ecuación

2ecuación

5Hallar las raíces de:

12x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0

2x3 − x2 − 4 = 0

36x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0

6Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1sistema

2sistema

3sistema

4sistema

7Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.

8La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

9Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

10Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

11Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

12Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

13Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

14Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es fracción.

15Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

16Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

17El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

18Halla una fracción equivalente a fracción cuyos términos elevados al cuadrado sumen 1184.

19Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

20Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.

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Ejercicio 1 resuelto

Resuelve las siguientes ecuaciones:

Soluciones:

17x2 + 21x − 28 = 0

x2 +3x − 4 = 0

solución

2−x2 + 4x − 7 = 0

x2 − 4x + 7 = 0

solución

x2 − 4x + 4 = 0

solución

312x2 − 3x = 0

4x2 − x = 0

x · (4x −1) = 0

x = 0

4x − 1 = 0     x = 1/4

4ecuación

solución

Ejercicio 2 resuelto

Resuelve:

Soluciones:

1ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

2ecuación

mcm

ecuación

ecuación

ecuación

solución

comprobar

comprobar

Ejercicio 3 resuelto

Resuelve:

Soluciones:

1x4 − 61x2 + 900 = 0

ecuación

solución

solución

solución

2x4 − 25x2 + 144 = 0

ecuación

solución

solución

solución

Ejercicio 4 resuelto

Resuelve:

Soluciones:

1ecuación

ecuación

ecuación

resolución

comprobación

comprobación

2ecuación

ecuación

ecuación

resolución

comprobación

comprobación

comprobación

Ejercicio 5 resuelto

Hallar las raíces de:

Soluciones:

12x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0

P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0

Ruffini

(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 ) = 0

P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0

Ruffini

(x −1 )2 · (2x −3 ) = 0

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

2x3 − x2 − 4 = 0

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

Ruffini

(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0

x2+ x + 2 = 0

resolución ecuación

(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0

Raíz: x = 2.

36x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0

{±1, ±2}

P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

Ruffini

(x+2) · (6x2 −5x +1) = 0

6x2 −5x +1 = 0

resolución ecuación

6 (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3) = 0

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

Ejercicio 6 resuelto

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

Soluciones:

1sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

sistema

solución

solución

2sistema

despejar

ecuación

resolución

solución

solución

3sistema

despejar

ecuación

ecuación

solución

solución

4sistema

ecuación

ecuación

solución

Ejercicio 7 resuelto

Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.

b2 − 4ac = 0

k2 − 4 · 36 = 0          k2 = 144

solución

Ejercicio 8 resuelto

La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

x2 − Sx + P = 0

ecuación

solución

Ejercicio 9 resuelto

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

Edad actualflecha x

Edad hace 13 años flecha x −13

Edad dentro de 11 años flecha x + 11

ecuación

ecuación

solución

Edad actual flecha 21

Ejercicio 10 resuelto

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

esquema

Semiperímetroflecha 55

Base flecha x

Altura flecha 55 − x

x · (55 − x) = 750

x2 − 55x + 750 = 0

x = 25      x = 30

Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m .

Ejercicio 11 resuelto

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

esquema

1er lado (base)flecha 3x

2º lado (altura) flecha 4x

3er lado flecha 5x

ecuación

solución

1er lado flecha 6 m

2º lado flecha 8 m

3er lado flecha 10 m

Ejercicio 12 resuelto

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

esquema

(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540

4x2 + 168x − 540 = 0        x2 + 42x − 135 = 0

x = 3 y x = −45

La anchura del camino es 3 m .

Ejercicio 13 resuelto

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

Base flecha 48x : 12 = 4x

Altura flecha 36x : 12 = 3x

esquema

(4x)2 + (3x)2 = 752

25x2 = 5625

x2 = 225      x = 15

Base flecha 4 · 15 = 60 m

Altura flecha 3 · 15 = 45 m

Ejercicio 14 resuelto

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es fracción.

ecuación

MCM

ecuación

solución

Ejercicio 15 resuelto

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

1er número flechax

2º número flecha x + 2

ecuación

ecuación

ecuación

solución

1er número flecha16

2º número flecha 18

Ejercicio 16 resuelto

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

Tiempo de A flecha x

El primero llena una piscina en x horas.

Tiempo de B flecha x + 3

El segundo llena una piscina en (x + 3) horas.

A flecha fracción

B flecha fracción

A y B flecha fracción

Entre los dos llenan una piscina en 2 horas

ecuación

mcm

ecuación

solución

Tiempo de A flecha 3 horas

Tiempo de B flecha 6 horas

Ejercicio 17 resuelto

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

leche flecha x

jamón flecha y

aceite flecha z

sistema

resolución

resolución

solución

leche flecha 1 €

jamón flecha 16 €

aceite flecha 3 €

Ejercicio 18 resuelto

Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas.

El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas.

Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.

infantiles flecha x

oeste flecha y

terror flecha z

sistema

sistema

sistema

solución

infantiles flecha 500 películas

oeste flecha 600 películas

terror flecha 900 películas

Ejercicio 19 resuelto

El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

sistema

sistema

ecuación

ecuación

ecuación

ecuación

comprobación

cambio

solución

solución

Ejercicio 20 resuelto

Halla una fracción equivalente a fracción cuyos términos elevados al cuadrado sumen 1184.

sistema

despejar

ecuación

ecuación

emoción

sustituir

solución

solución

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