Ecuaciones de grado superior a dos

Es una ecuación de cualquier grado escrita de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

Ejemplos

2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

Dividimos por Ruffini.

Ruffini

Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6) = 0

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5x − 6≠ 0

P(− 1) = 2 · (− 1)3 + 3 · (− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

Ruffini

(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6) = 0

Otra raíz es x = -1.

Los otros factores lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado.

ecuación

solución

Las soluciones son: x = 1, x = −1, x = −2 y x = 3/2


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