Problemas de relojes, móviles, grifos y mezclas

1Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se superpondrán las agujas?

2Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por primera vez un ángulo recto?

3Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9 de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Se pide:

1El tiempo que tardarán en encontrarse.

2La hora del encuentro.

3La distancia recorrida por cada uno.

4Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9 de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:

1El tiempo que tardarán en encontrarse.

2La hora del encuentro.

3La distancia recorrida por cada uno.

5Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero con una velocidad de 120 km/h. Se pide:

1El tiempo que tardará en alcanzarlo.

2La distancia a la que se produce el encuentro.

6Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 40 km/h. Una hora más tarde sale de la misma ciudad y en la misma dirección y sentido un coche a 60 km/h. Se pide:

1El tiempo que tardará en alcanzarlo.

2La distancia a la que se produce el encuentro.

7Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de la mañana de los pueblos A y B situados a 130 kilómetros de distancia. El ciclista que sale de A pedalea a una velocidad constante de 30 km/h, y el ciclista que sale de B, a 20 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán y a qué hora?

8Un grifo tarda en llenar un depósito tres horas y otro grifo tarda en llenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos juntos el depósito?

9Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg. ¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 € el kg?

10Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?

11Un lingote de oro de ley 0.950 pesa 6 300 g. ¿Qué cantidad de cobre puro se habrá de añadir para rebajar su ley a 0.900?

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Ejercicio 1 resuelto

Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se superpondrán las agujas?

esquema

x es el arco que describe la aguja horaria.

(15 + x) es el arco que describe el minutero.

15 + x = 12x

x = 15/11 min

Las agujas se superpondrán a la 3 h 16 min 21 s

Ejercicio 2 resuelto

Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por primera vez un ángulo recto?

esquema

Las agujas del reloj forman un ángulo recto a las 2 h 25 min y un poco más, que llamaremos x.

x es el arco que describe la aguja horaria.

25 + x, es el arco que describe el minutero.

25 + x = 12x

x = 25/11 min

Las agujas del reloj conformarán un ángulo de 90° a las 2h 27 min 16 s.

Ejercicio 3 resuelto

Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9 de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Se pide:

Soluciones:

1El tiempo que tardarán en encontrarse.

90t + 60t = 300      150t = 300      t = 2 horas

2 La hora del encuentro.

Se encontraran a las 11 de la mañana .

3La distancia recorrida por cada uno.

e AB = 90 · 2 = 180 km

e BC = 60 · 2 = 120 km

Ejercicio 4 resuelto

Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9 de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:

Soluciones:

1El tiempo que tardarán en encontrarse.

90t − 60t = 180      30t = 180      t = 6 horas

2La hora del encuentro.

Se encontraran a las 3 de la tarde .

3La distancia recorrida por cada uno.

e AB = 90 · 6 = 540 km

e BC = 60 · 6 = 360 km

Ejercicio 5 resuelto

Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero con una velocidad de 120 km/h. Se pide:

Soluciones:

1El tiempo que tardará en alcanzarlo.

90t = 120 · (t − 3)

90t = 120t − 360       −30t = −360        t = 12 horas

Como el segundo coche sale 3 h más tarde, el tiempo que tardará en alcanzarlo será de 9 h

2La distancia a la que se produce el encuentro.

e 1 = 90 · 12 = 1080 km

Ejercicio 6 resuelto

Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 40 km/h. Una hora más tarde sale de la misma ciudad y en la misma dirección y sentido un coche a 60 km/h. Se pide:

Soluciones:

1Tiempo que tardará en alcanzarle.

e1 = e2

40t = 60 (t − 1)

40t = 60t − 60        40t − 60t =− 60     −20t = −60

t = 3h

Como el coche sale una hora más tarde, el tiempo que tardará en alcanzarlo será de 2 horas .

2Distancia al punto de encuentro.

e1 = 40 · 3 = 120 km .

Ejercicio 7 resuelto

Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de la mañana de los pueblos A y B situados a 130 kilómetros de distancia. El ciclista que sale de A pedalea a una velocidad constante de 30 km/h, y el ciclista que sale de B, a 20 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán y a qué hora?

esquema

30t + 20t = 130          50t = 130

t = 130/50 = 2 h 36 min

Se encuentran a las 11h 36 min

e AC = 30 · 130/50 = 78 km

Ejercicio 8 resuelto

Un grifo tarda en llenar un depósito tres horas y otro grifo tarda en llenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos juntos el depósito?

En una hora el primer grifo llena 1/3 del depósito.

En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depósito.

En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:

ecuación

ecuación

7x = 12             x = 12/7 horas

Ejercicio 9 resuelto

Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg.

¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 € el kg?

  1ª clase 2ª clase Total
Nº de kg x 60 − x 60
Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50

40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50

40x + 3600 − 60x = 3000;    − 60x + 40x = 3000 − 3600;   20x = 600

x = 30;   60 − 30 = 30

Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y otros 30 de la 2ª clase .

Ejercicio 10 resuelto

Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?

  1ª ley 2ª ley Total
Nº de g x 1800 − x 1800
Plata 0.750 · x 0.950 · (1800−x) 0.900 · 1800

0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800

0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620

0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710

−0.2x = − 90       x = 450

1ª ley flecha 450 g

2ª ley flecha 1350 g

Ejercicio 11 resuelto

Un lingote de oro de ley 0.950 pesa 6 300 g. ¿Qué cantidad de cobre puro se habrá de añadir para rebajar su ley a 0.900?

  Oro Cobre Total
Nº de g 6 300 x 6 300 + x
Oro puro 0.950 · 6 300   0.900 · (6 300 + x)

0.900 · (6 300 + x) = 0.950 · 6 300

5 670 + 0.900x = 5 985

0.900x = 315    x = 315/0.900 = 350

Cobre flecha 350 g

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