Números reales y radicales. Resumen

Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

Los números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

Intervalos

Intervalo abierto

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Semirrectas

x > a

(a, +∞) = {x / a < x < +∞}

x ≥ a

[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞}

x < a

(-∞, a) = {x / -∞ < x < a}

x ≤ a

(-∞, a] = {x / -∞ < x ≤ a}

Valor absoluto

Valor absoluto de a

Propiedades

|a| = |−a|

|a · b| = |a| ·|b|

|a + b| ≤ |a| + |b|

Distancia

d(a, b) = |b − a|

Entornos

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por E_r(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a-r, a+r).

E_r(a) = (a-r, a+r)

Entornos laterales:

Por la izquierda

E_r(a^-) = (a-r, a)

Por la derecha

E_r(a⁺) = (a, a+r)

Entorno reducido

E_r^*(a) = { x (a-r, a+r), x ≠ a}

Potencias

Con exponente entero

Con exponente racional

Propiedades

1.a⁰ = 1 · 7.aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ

2.a¹ = a

3.a^m · a ⁿ = a^m+n

4.a^m : a ⁿ = a^{m - n}

5.(a^m)ⁿ=a^{m · n}

6.aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

Radicales

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radiales equivalentes

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Operaciones con radicales

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantess, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.