¡Bienvenido a los ejercicios de números reales! Los números reales son fundamentales en las matemáticas y abarcan una amplia gama de valores, incluyendo los números enteros, fraccionarios, decimales, racionales e irracionales. Estos números se extienden infinitamente en ambas direcciones y son la base para realizar operaciones matemáticas esenciales.

A lo largo de esta serie de ejercicios, pondrás a prueba tus habilidades en diferentes conceptos relacionados con los números reales. Recuerda que los números reales son una herramienta poderosa para representar cantidades y magnitudes en la vida cotidiana y en diversos campos académicos y profesionales. Además, su estudio es esencial para comprender conceptos más avanzados en matemáticas y ciencias.

¡Adelante! Sumérgete en los ejercicios y disfruta reforzando tus habilidades con los números reales.

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Vamos

Clasificación de números

 

1Clasifica los números:

a

b

c

d

e

a

 

Notemos que es un número irracional, esto es, , en donde son los números racionales. Se sabe que el producto, división, suma o resta entre un número irracional y uno racional es un número irracional, por lo tanto, tenemos que es irracional

 

 

b

 

Observemos que podemos resolver esta raíz de manera exacta, esto es, , en donde y son números enteros, por lo tanto

 

 

c

 

Todo número que tenga decimal periódico se puede expresar como fracción, esto significa que todo número con decimal periódico es un número racional. De hecho, tenemos que, esto comprueba que se trata de un número racional

 

 

d

 

Las raíces de números negativos nunca han pertenecido a los números reales, estos numeros pertenecen a una extensión de los números reales conocido como los números complejos . Dicho lo anterior, este número es un número complejo.

 

 

e

 

Al tener una fracción entre números enteros es claro que tenemos con número racional, sin embargo, si efectuamos la división, tenemos que esta fracción es equivalente al número entero . Dicho lo anterior, tenemos que

 

 

 
 

Recta númerica

 

2Representa en la recta: 

 

Representa en la recta: 

 

Solución

 

Para encontrarlo, primero notemos que al calcular la raíz, tenemos que

 

 

Grafiquemos este punto en la recta

 

Representación gráfica de raíz de 17

 
 

Valor absoluto

 

3Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:

a

b

c

d

a

 

Notemos que por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son equivalentes

 

 

En donde la última desigualdad implica que .

 

Representación gráfica del valor absoluto en el interval abierto (-1, 1)

 

b

 

Notemos que por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son equivalentes

 

 

En donde la última desigualdad implica que .

 

Representación gráfica del valor absoluto en el interval cerrado -1, 1

 

c

 

Notemos que por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son equivalentes

 

.

 

En donde la última desigualdad implica que o , lo cual lo podemos expresar en términos de la unión de conjuntos como .

 

Representación gráfica del valor absoluto en el interval (-1, 1) y infinto

 

d

 

Notemos que por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son equivalentes

 

.

 

En donde la última desigualdad implica que o , lo cual lo podemos expresar en términos de la unión de conjuntos como .

 

Representación gráfica del valor absoluto en el interval (-1, 1) cerado y infinito

 
 

Potencias

 

4Calcula los valores de las siguientes potencias:

a

b

c

d

Calcula los valores de las siguientes potencias:

 

a

 

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción y el exponente del radicando es el numerador .

 

Descomponemos 16 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores:

 

 

b

 

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción y el exponente del radicando es el numerador .

 

Descomponemos 8 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores:

 

 

c

 

En este caso pasamos el exponente que es un número decimal exacto a fracción:

 

 

d

 

El exponente que es un periódico puro, por lo tanto lo podemos expresar como fracción: . Por lo tanto

 

 
 

Sumas de radicales

 

5Hallar las sumas:

a

b

c

d

Solucionaremos los ejercicios simplemente descomponiendo el radicando en potencias de números primos. Después con simple álgebra, sumas, y restas, resolveremos los problemas.

 

a

 

 

b

 

 

c

 

 

d

 

 

 
 

Operaciones con radicales

 

6Realiza las operaciones:

a

b

c

d

Para resolver este ejercicio simplemente aplicaremos la teoría que sabemos sobre potencias y multiplicación de binomios

 

a

 

b

 

 

c

 

 

d

 

 
 

Radicales y potencias

 

7Opera:

Para resolver este ejercicio aplicaremos gran parte de la teoría de exponentes que conocemos. Jugaremos con las fracciones en los exponentes hasta simplificar de manera adecuada nuestra expresión

 

 
 

Más radicales y potencias

 

8Efectúa:

Para resolver este ejercicio aplicaremos equivalencia de potencias fraccionarias con radicales para poder simplificar:

 

 
 

Operaciones con cocientes de radicales

 
9Calcular:

a

b

Utilizaremos lo que sabemos de álgebra para realizar estas operaciones:

 

a

 

 

b

 

 
 

Racionalizar

 
10Racionalizar:

a

b

c

d

Recordemos que racionalizar consiste en eliminar los radicales del denominador de una fracción, para esto multiplicamos la fracción por un uno multiplicativo adecuado.

a

 

b

 

c

 

 

d

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗