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Un radical es una expresión de la forma , en la que y . Además, si es par, entonces no puede ser negativo .
Por ejemplo, tenemos que es par. Por lo tanto, ; mientras que .
Asimismo, como es impar, entonces y . Es decir, la raíz cúbica está definida para cualquier número real.
Las partes que componen un radical son: coeficiente, índice y radicando
Potencias y radicales
Se puede expresar un radical en forma de potencia:
Ponemos en forma de potencia al radicando
El índice del radical se transforma en el denominador y el exponente del radicando en el numerador y efectuamos las operaciones:
Radicales equivalentes
Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:
Si se multiplican o dividen el índice y el exponente o exponentes del radicando por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.
Multiplicamos el índice y el exponente del radicando por un entero positivo, por ejemplo
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.
1
2
Ponemos en forma de potencia al
Para simplificar el radical dividimos por tanto el índice como el exponente del radicando
2
Para simplificar el radical dividimos por tanto el índice como los exponentes del radicando
Reducción a índice común
Para reducir a común índice dos a más radicales:
1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes
En primer lugar hallamos el m.c.m. de los índices: y
Dividimos el común índice por cada uno de los índices y y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes
Operamos con las potencias
Extracción de factores en un radical
Para extraer factores de un radical se descompone el radicando en factores. Si:
Un exponente del radicando es menor que el índice
El factor correspondiente se deja en el radicando.
1
2
puesto que y los exponentes de los factores es 1, el cual es menor que el índice 2; así
2
Puesto que y el exponente 2 es menor que el índice 3; así
Un exponente del radicando es igual al índice
El factor correspondiente sale fuera del radicando.
1
2
Descomponemos en factores, como el está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el del radicando; así se obtiene
2
Descomponemos en factores, como el está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el del radicando; así se obtiene
Un exponente del radicando es mayor que el índice
Se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando
1
2
3
4
1
El exponente del 2 es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente entre el índice
El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Como el factor es igual a 1, no es necesario colocarlo en el radicando ya que si se multiplica por otro factor este no varía
En general, si el resultado de dividir el exponente de un factor por el índice da como resto cero, no colocaremos ese factor en el radicando
2
Descomponemos en factores:
El exponente es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente entre el índice .
El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente dentro del radicando
3
Hay exponentes en el radicando mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes y por el índice .
Cada uno de los cocientes y obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos y serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando
4
Los exponentes el radicando son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes y por el índice .
Cada uno de los cocientes obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando
Introducción de factores en un radical
Para introducir factores en un radical se elevan los factores al índice del radical.
1
2
1
Como el índice es , el factor fuera del radical se eleva al cuadrado y realizamos las operaciones
2
Tanto el como el se introducen elevados a la cuarta potencia, es decir,
Quitamos los paréntesis multiplicando los exponentes y multiplicamos las potencias con la misma base
Operaciones con radicales
Para los radicales se tienen las operaciones de suma, resta, multiplicación, divisón y otras que veremos a continuación:
Suma y resta de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
Para sumar radicales con el mismo índice e igual radicando se se suman los coeficientes de los radicales.
1
2
3
4
5
6
7
8
Sumamos y restamos (dependiendo de los signos) los coeficientes de los radicales y tenemos
2
Sumamos los coeficientes de los radicales
3
Descomponemos en factores los radicandos:
De manera que las raíces son
Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente
Sumamos los coeficientes de los radicales
4
Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente
De manera que
Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando por , en el segundo por y en el tercero por
Sumamos los coeficientes de los radicales
5
Expresamos los radicandos en factores
Extraemos factores del radicando
Sumamos los coeficentes y tenemos
6
Expresamos los radicandos en factores
Extraemos factores del radicando
Sumamos los coeficentes y tenemos
7
Expresamos los radicandos en factores
Extraemos factores del radicando
Sumamos los coeficentes y tenemos
8
Expresamos los radicandos en factores
Extraemos factores del radicando
Sumamos los coeficentes y tenemos
Multiplicación de radicales
En la multiplicación tenemos dos casos: con el mismo índice o con distinto índice
Multiplicación de radicales con el mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Multiplicamos los radicandos
Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.
Multiplicación de radicales con distinto índice
Primero se reducen a común índice y luego se multiplican.
1
2
Descomponemos en factores los radicandos
Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.
Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes . Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del radicando
2
Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices
Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se eleva a los radicandos correspondientes
Descomponemos en factores y , realizamos las operaciones con las potencias y extraemos factores
División de radicales
En la división tenemos dos casos: con el mismo índice o con distinto índice
División de radicales con el mismo índice
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Como los dos radicales tienen el mismo índice lo ponemos todo en un radical con el mismo índice
Descomponemos en factores, hacemos la división de potencias con la misma base
Simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando por
División de radicales con distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
1
2
3
1
En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. .
Dividimos el común índice por cada uno de los índices ( y ) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes ( y )
2
Descomponemos el en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos
3
Realizamos los mismos pasos del ejemplo anterior
Simplificamos el radical dividiendo por el índice y el exponente del radicando, y por último extraemos factores
Potencia de un radical
Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
1
2
1
Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores
2
Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el del radical
En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división
Simplificamos el radical dividiendo por el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
1
2
1
Multiplicamos los índices
2
Introducimos el primer dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base
Introducimos el en la raíz cuarta por lo que tenemos que elevarlo a la cuarta, realizamos el producto de potencias y por último el producto de los índices
Racionalización
La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones
Podemos distinguir tres casos:
Caso 1
Racionalización del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por
Multiplicamos el numerador y el denominador por
Simplificamos
Caso 2
Racionalización del tipo
Se multiplica numerador y denominador por
El radicando lo ponemos en forma de potencia:
Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de
Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción
Caso 3
Racionalización del tipo
Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".
1
2
3
1
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
2
Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador
3
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
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porque surge una fraccion mixta del caso uno ejemplo 2 alguien me podria explicar
Me aparecen desigualdades en el ejemplo que mencionas y ninguna fracción.
Tengo aquí una duda
Sabemos que no existen raíces de negativos, solo en los complejos
Entonces supongamos que estamos en los complejos y no en los reales la propiedad de la multiplicacion de radicales se cumple? Lo comento porque en lo
Raíz de (-4) × raíz de (-9)
Si lo hacemos por separado da – 6
Pues obtenemos (2i)(3i)
Pero si aplicamos la propiedad da como resultado 6
Cuál es la correcta?
Sumas con radicales como denominadores El ejercicio 2 no es correcta la racionalización
Disculpa pero no encuentro el error en el ejercicio, por favor podrías señalarlo.
Encuentra el producto de los números reales 5 y 12
Haber no entiendo el ejercicio 3 de división de radicales cuando divide 24 y 8
En el ejercicio 3 no me aparece ningún 24 y 8.
Si te refieres al ejercicio |x-2|>=1, el resultado es correcto el método puede no ser claro.
Se recomienda tomar por casos, a) x-2>=1 y b) x-2<=-1 se resuelve cada uno y el resultado concuerda con lo mostrado.