Valor Absoluto

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

Valor absoluto de a

|5| = 5   |-5 |= 5   |0| = 0

|x| = 2   x = −2   x = 2

|x|< 2    − 2 < x < 2   x Pertenece (−2, 2 )

|x|> 2  x< 2 ó x>2    (−∞, 2 ) Unión (2, +∞)

|x −2 |< 5   − 5 < x − 2 < 5   

 − 5 + 2 < x <  5 + 2  − 3 < x < 7

Propiedades:

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

     |a| = |−a|

Ejemplo:

|5| = |−5| = 5

2 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

Ejemplo:

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|

|−10| = |5| · |2|   

  10 = 10

3 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

Ejemplo:

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|     

 |3| = |5| + |2|     

3 ≤ 7

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

     d(a, b) = |b − a|

Ejemplo:

La distancia entre −5 y 4 es:

d(−5, 4) = |4 − (−5)| =

= |4 + 5| = |9|