Un radical es una expresión de la forma , en la que y . Además, si es par, entonces no puede ser negativo .

 

Por ejemplo, tenemos que es par. Por lo tanto, ; mientras que .

 

Asimismo, como es impar, entonces y . Es decir, la raíz cúbica está definida para cualquier número real.

 

Las partes que componen un radical son: coeficiente, índice y radicando

dibujo de las partes de un radical mostrando coeficiente, indice y radicando

 

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

 

Ejemplo:Escribir en forma de potencia

Ponemos en forma de potencia al radicando

 

El índice del radical se transforma en el denominador y el exponente del radicando en el numerador y efectuamos las operaciones:

 

 

Radicales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

 

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente o exponentes del radicando por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

 

Ejemplo:Un radical equivalente de es

Multiplicamos el índice y el exponente del radicando por un entero positivo, por ejemplo

 

 

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

 

Ejemplo: Simplificar:
1
2

1

Ponemos en forma de potencia al

 

Para simplificar el radical dividimos por tanto el índice como el exponente del radicando

 
2

Para simplificar el radical dividimos por tanto el índice como los exponentes del radicando

 

 

Reducción a índice común

Para reducir a común índice dos a más radicales:

 

1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2  Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

 

Ejemplo: Poner a común índice los radicales:

En primer lugar hallamos el m.c.m. de los índices: y

 

Dividimos el común índice por cada uno de los índices y y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

 

Operamos con las potencias

 

 

Extracción de factores en un radical

Para extraer factores de un radical se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente del radicando es menor que el índice

El factor correspondiente se deja en el radicando.

 

Ejemplo: Verificar si es posible extraer los factores de:
1
2

1

puesto que y los exponentes de los factores es 1, el cual es menor que el índice 2; así


 
2

Puesto que y el exponente 2 es menor que el índice 3; así


 

 

Un exponente del radicando es igual al índice

El factor correspondiente sale fuera del radicando.

 

Ejemplo: Extraer los factores de:
1
2

1

Descomponemos en factores, como el está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el del radicando; así se obtiene


 
2

Descomponemos en factores, como el está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el del radicando; así se obtiene


 

 

Un exponente del radicando es mayor que el índice

Se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando

 

Ejemplo: Extraer los factores de:
1
2
3
4

1

El exponente del 2 es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente entre el índice

 

El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

 

Como el factor es igual a 1, no es necesario colocarlo en el radicando ya que si se multiplica por otro factor este no varía

 

En general, si el resultado de dividir el exponente de un factor por el índice da como resto cero, no colocaremos ese factor en el radicando

 

2

Descomponemos en factores:

 

El exponente es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente entre el índice .

 

El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente dentro del radicando

 

3

Hay exponentes en el radicando mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes y por el índice .

 

Cada uno de los cocientes y obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos y serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando

 

4

Los exponentes el radicando son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes y por el índice .

 

Cada uno de los cocientes obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando

 

 

Introducción de factores en un radical

Para introducir factores en un radical se elevan los factores al índice del radical.

 

Ejemplo: Introducir los factores en el radical:
1
2

1

Como el índice es , el factor fuera del radical se eleva al cuadrado y realizamos las operaciones

 

2

Tanto el como el se introducen elevados a la cuarta potencia, es decir,

 

Quitamos los paréntesis multiplicando los exponentes y multiplicamos las potencias con la misma base

 

 

Operaciones con radicales

Para los radicales se tienen las operaciones de suma, resta, multiplicación, divisón y otras que veremos a continuación:
 

Suma y resta de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

 

Para sumar radicales con el mismo índice e igual radicando se se suman los coeficientes de los radicales.

 

Ejemplo:Realizar las sumas:
1
2
3
4
5
6
7
8

1

Sumamos y restamos (dependiendo de los signos) los coeficientes de los radicales y tenemos

 

2

Sumamos los coeficientes de los radicales

 

3

Descomponemos en factores los radicandos:

 

De manera que las raíces son

 

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

 

Sumamos los coeficientes de los radicales

 

4

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

 

De manera que

 

Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando por , en el segundo por y en el tercero por

 

Sumamos los coeficientes de los radicales

 

5

Expresamos los radicandos en factores

 

Extraemos factores del radicando

 

Sumamos los coeficentes y tenemos

 

6

Expresamos los radicandos en factores

 

Extraemos factores del radicando

 

Sumamos los coeficentes y tenemos

 

7

Expresamos los radicandos en factores

 

Extraemos factores del radicando

 

Sumamos los coeficentes y tenemos

 

8

Expresamos los radicandos en factores

 

Extraemos factores del radicando

 

Sumamos los coeficentes y tenemos

 

 

Multiplicación de radicales

En la multiplicación tenemos dos casos: con el mismo índice o con distinto índice
 

Multiplicación de radicales con el mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

 

Ejemplo: Realizar la multiplicación

Multiplicamos los radicandos

 

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

 

 

Multiplicación de radicales con distinto índice

Primero se reducen a común índice y luego se multiplican.

 

Ejemplo: Realizar las multiplicaciones: 
1
2

1

Descomponemos en factores los radicandos

 

Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

 

Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes . Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del radicando

 

2
 

Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices

 

Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se eleva a los radicandos correspondientes

Descomponemos en factores y , realizamos las operaciones con las potencias y extraemos factores

 

 

División de radicales

En la división tenemos dos casos: con el mismo índice o con distinto índice
 

División de radicales con el mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

 

Ejemplo: Realizar la división

Como los dos radicales tienen el mismo índice lo ponemos todo en un radical con el mismo índice

 

Descomponemos en factores, hacemos la división de potencias con la misma base

 

Simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando por

 

 

División de radicales con distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

 

Ejemplo: Realiza las divisiones:
1
2
3

1

En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. .

 

Dividimos el común índice por cada uno de los índices ( y ) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes ( y )

 
2

Descomponemos el en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos

 
3
 

Realizamos los mismos pasos del ejemplo anterior

 

Simplificamos el radical dividiendo por el índice y el exponente del radicando, y por último extraemos factores

 

 

Potencia de un radical

Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

 

Ejemplo: Simplifica:
1
2

1

Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores

 

2
 

Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el del radical

 

En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división

 

Simplificamos el radical dividiendo por el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente

 

 

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

 

Ejemplo: Simplificar:
1
2

1

Multiplicamos los índices

 
2

Introducimos el primer dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base

 

Introducimos el en la raíz cuarta por lo que tenemos que elevarlo a la cuarta, realizamos el producto de potencias y por último el producto de los índices

 

 

Racionalización

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones

 

Podemos distinguir tres casos:

 

Caso 1

Racionalización del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por

 

Ejemplo: Racionalizar

Multiplicamos el numerador y el denominador por

 

Simplificamos

 

Caso 2

Racionalización del tipo

Se multiplica numerador y denominador por

 

Ejemplo: Racionalizar

El radicando lo ponemos en forma de potencia:

 

Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de

 

Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción

 

Caso 3

Racionalización del tipo

 

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

 

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

 

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

 

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

 

 

Ejemplo: Racionalizar:
1
2
3

1

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

 

2

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

 

3

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗