Resumen de números reales

Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

Los números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por Erre.

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

Intervalos

Intervalo abierto

(a, b) = {x Pertenece Erre / a < x < b}

Intervalo cerrado

[a, b] = {x Pertenece Erre / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

(a, b] = {x Pertenece Erre / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

[a, b) = {x Pertenece Erre/ a ≤ x < b}

Semirrectas

x > a

(a, +∞) = {x Pertenece Erre / a < x < +∞}

x ≥ a

[a, +∞) = {x Pertenece Erre / a ≤ x < +∞}

x < a

(-∞, a) = {x PerteneceErre / -∞ < x < a}

x ≤ a

(-∞, a] = {x Pertenece Erre / -∞ < x ≤ a}

Valor absoluto

Valor absoluto de a

Propiedades

|a| = |−a|

|a · b| = |a| ·|b|

|a + b| ≤ |a| + |b|

Distancia

d(a, b) = |b − a|

Entornos

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a-r, a+r).

Er(a) = (a-r, a+r)

Entornos laterales:

Por la izquierda

Er(a-) = (a-r, a)

Por la derecha

Er(a+) = (a, a+r)

Entorno reducido

E r*(a) = { x pertenece (a-r, a+r), x ≠ a}

Potencias

Con exponente entero

potencias

Con exponente racional

potencias

Propiedades

1a0 = 1 · 7.an : b n = (a : b) n

2a1 = a

.am · a n = am+n

4am : a n = am - n

5(am)n=am · n

6an · b n = (a · b) n

Radicales

Un radical es una expresión de la forma radical, en la que n Pertenece Conjunto de los números naturales y a Pertenece Erre ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

potencia

Radicales equivalentes

índice

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Operaciones con radicales

1 Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantess, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

2 Producto de radicales

1 Radicales del mismo índice

producto

2 Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

3 Cociente de radicales

1 Radicales del mismo índice

cociente

2 Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

4 Potencia de radicales

potencias

5 Raíz de un radical

raíz de un radical

Racionalizar

Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.

1Del tipo cociente

Se multiplica el numerador y el denominador por raíz.

operaciones

2Del tipo fracción

Se multiplica numerador y denominador por radical.

operaciones

3Del tipo cociente, y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Logaritmos

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Definición

Siendo a la base, x el número e y el logarítmo.

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

base negativa

No existe el logaritmo de un número negativo.

negativo

No existe el logaritmo de cero.

cero

El logaritmo de 1 es cero.

uno

El logaritmo en base a de a es uno.

base a de a

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

potencia

Propiedades de los logaritmos

Propiedades

1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

producto

2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

cociente

3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

potencia

4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

raíz

5 Cambio de base:

Cambio de base


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