Resumen de divisibilidad

Resumen de divisibilidad

Múltiplos

Un número a es múltiplo de otro b cuando el resultado de multiplicarlo por otro número c.

Propiedades de los múltiplos de un número

1 Todo número "a", distinto de 0, es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

2 El cero es múltiplo de todos los números.

3 Todo número, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos.

4 Si "a" es múltiplo de "b", al dividir "a" entre "b" la división es exacta.

5 La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

6 La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

7 Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.

8 Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

Divisores

Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente.

Propiedades de los divisores de un número

1 Todo número "a", distinto de 0, es divisor de sí mismo.

2 El 1 es divisor de todos los números.

3 Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto, el número de divisores es finito.

4 Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.

5 Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo de éste.

6 Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.

Criterios de divisibilidad

Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.

Las reglas para saber la divisibilidad de un número son:

Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

Ejemplo:
24, 238, 1 024, ...

Criterio de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Ejemplo:

564 flecha 5 + 6 + 4 = 15 flecha 15 es múltiplo de 3

2 040 flecha 2 + 0 + 4 + 0 = 6 flecha 6 es múltiplo de 3

Criterio de divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

Ejemplo:
45, 515, 7 525, 230, ...

Criterio de divisibilidad por 7

Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.

Ejemplo:

343 flecha 34 − 2 · 3 = 28flecha 28 es múltiplo de 7

105 flecha 10 − 5 · 2 = 0

2 261 flecha 226 − 1 · 2 = 224
Se repite el proceso con 224 flecha 22 − 4 · 2 = 14 flecha 14 es múltiplo de 7

Criterio de divisibilidad por 11

Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de 11.

Ejemplo:

121 flecha (1 + 1) − 2 = 0

4 224 flecha (4 + 2) − (2 + 4) = 0

Otros criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad de los siguientes números son:

Criterio de divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

Ejemplo:
36, 400, 1 028, ...

Criterio de divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

Ejemplo:
72, 324, 2 400, ...

Criterio de divisibilidad por 8

Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

Ejemplo:
4 000, 1 048, 1 512, ...

Criterio de divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

Ejemplo:

81 flecha 8 + 1 = 9

3 663 flecha 3 + 6 + 6 + 3 = 18 flecha 18 es múltiplo de 9

Criterio de divisibilidad por 10

Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.

Ejemplo:
130, 1 440, 10 230, ...

Criterio de divisibilidad por 25

Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.

Ejemplo:
500, 1 025, 1 875, ...

Criterio de divisibilidad por 125

Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.

Ejemplo:
1 000, 1 125, 4 250, ...

Números primos

Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

Número compuesto

Es aquel que posee más de dos divisores.

Número compuesto

Es aquel que posee más de dos divisores.

Factorizar

Factorizar o descomponer un número en factores primos es expresar el número como un producto de números primos.
Para factorizar un número efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un 1 como cociente.

Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Cálculo del m.c.d

1 Se descomponen los números en factores primos.

2 Se toman los factores comunes con menor exponente.

Mínimo común divisor

Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido en cero.

Cálculo del m.c.d

1 Se descomponen los números en factores primos.

2 Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

El algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m. c. d. de dos números. Los pasos son:

1 Se divide el número mayor entre menor.

2 Si:

La división es exacta, el divisor es el m. c. d.

La división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m. c. d.