Problemas de números complejos

1Calcula k para que el número complejo que obtenemos al dividir esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

2 Halla el valor de k para que el cociente sea:

1Un número imaginario puro.

2Uno número real.

3 Se considera el complejo 2 + 2 i, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Hallar el complejo obtenido después del giro.

4 Halla las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 1_90°.

5 Determina el valor de a y b para que el cociente sea igual a:

6 Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i.

7 Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).

8 La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.

Problemas resueltos de números complejos

1

Calcula k para que el número complejo que obtenemos al dividir esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

Para que el afijo, (a, b), del complejo esté en la bisectriz del primer cuadrante, tiene que cumplirse: a = b.

Problemas resueltos de números complejos

2

Halla el valor de k para que el cociente sea:

1Un número imaginario puro.

2Un número real.

Problemas resueltos de números complejos

3

Se considera el complejo 2 + 2 i, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Hallar el complejo obtenido después del giro.

Problemas resueltos de números complejos

4

Halla las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 1_90°.

Los vértices son los afijos de las raíces sextas de otro complejo z.

z = (1_90°)⁶ = 1_540° = 1_180°

Problemas resueltos de números complejos

5

Determina el valor de a y b para que el cociente sea igual a

Problemas resueltos de números complejos

6

Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i.

(2 + i) · 1_90° = (2 + i) · i = − 1 + 2i = (−1,2)

Problemas resueltos de números complejos

7

Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).

(0, −2) = −2 i = 2_270°

Los vértices son los afijos de las raíces cuartas de otro complejo z.

(2_270°)⁴ = 16_1080º = 16_{3 · 360°} = 16_0°

Problemas resueltos de números complejos

8

La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.

z = a + b i = r_α

z = a − b i = r_−α

r + r = 10 r = 5

a + a = 6 a = 3

5² = 3² + b²        b=4

r cos α + r cos (−α) = 6

5 cos α + 5 cos α = 6

cos α = 3/5

α = 53° 7' 48''           α = 306° 52' 11''

3 + 4 i = 5_{53° 7' 48''}

3 − 4 i = 5_{306° 52' 11''}