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Vamos

Repaso

Nota: Todo número real es un número complejo, pero no todo número complejo es un numero real

 

Formulas para operar números complejos:

 

Suma

 

Se asocian  y suman por un lado las partes reales y por otro las imaginarias

 

Producto

 

Se resuelve igual que el producto de 2 binomios, usando la distributividad
recordando que

 

División

 

 

Aritmética de números complejos

 

1 Realiza las siguientes operaciones:

 

 

 

 

1

 

Elevamos primero el numerador a la tercera potencia

Calculamos el cociente

 

2

 

Convertimos el número en forma polar

Finalmente calculamos la potencia de

Si ajustamos el argumento a un ángulo entre y , obtenemos

 

3

 

Convertimos el número en forma polar

Finalmente calculamos la potencia de

 

4

 

Convertimos el númerador que aparece dentro de la raíz a forma polar

Ahora convertimos el denominador a forma polar

Calculamos el cociente

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

Las raíces terceras constan entonces de los números

 

2 Resuelve y expresa en forma polar

 

Convertimos el número en forma polar

Entonces

Para calcular las raíces obtenemos el módulo y los argumentos

Las 5 raíces quintas constan entonces de los números

 

 

3 Calcula la siguiente operación, dando el resultado en forma polar.

 

Quitamos los paréntesis para poder realizar las operaciones en el númerador y denominador

Multiplicamos el númerador y el denominador por el conjugado de este último

Entonces

Para la forma polar, obtenemos el módulo y el argumento

De este modo,

 

4 Calcula el valor de cociente. Obten sus raíces cúbicas, expresando en forma polar, trigonométrica y binomial.

 

1Cálculo del cociente

Cambiamos el exponente negativo y desarrollamos

Tomando en cuenta que , nos queda que

Entonces

2Conversión a forma polar

Para obtener las raíces de , necesitamos cambiar a su forma polar. Esto la hacemos obteniendo su módulo y argumento

Por lo que

3Cálculo de las raíces terceras

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

Las 3 raíces cúbicas constan entonces de los números

4Raíces expresadas en forma trigonométrica y binomial

 

raices de un numero complejo representación gráfica
 

Raíces de una ecuación

 

5 Calcula las raíces de la siguiente ecuación:

 

Despejamos

Cambiamos a la forma polar el número dentro de la raíz, en este caso, -1.

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

Las raíces de la ecuación son entonces los números con módulo 1 y con los argumentos anteriores, es decir,

 

6 Calcular todas las raíces de la ecuación:

 

Despejamos

Cambiamos el número dentro de la raíz a forma polar

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

Las raíces quintas constan entonces de los números

7 Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones y su conjugado.

 

Dado un número complejo y su conjugado

Podemos encontrar un ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean dichos números. Esta ecuación se expresa de la siguiente manera

Donde es la suma de las raíces y el producto. En este caso,

Entonces la ecuación que buscamos es

 

Conjugado de un complejo, forma polar y trigonométrica

 

8 Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:

 

1

 

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

Entonces en forma polar y trigonométrica queda

El conjugado

El opuesto

 

2

 

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

Entonces en forma polar y trigonométrica queda

El conjugado

El opuesto

 

Teorema de Moivre y binomio de Newton

 

9 Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

 

Convertimos a forma polar

Queremos encontrar un número , tal que al elevarlo al cubo resulte el número anterior

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

Las 3 raíces cúbicas constan entonces de los números



Eso convertido a forma trigonométrica y binomial obtengo



 

10 Expresa en función de cos α y sen α:

 

1 Binomio de Newton:

 

Aplicamos el binomio de Newton

Desarrollamos

Separamos la parte real y la parte imaginaria

 

2 Fórmula de Moivre:

 

Por otro lado sabemos que

Usando el resultado al que llegamos con el binomio de Newton, igualamos las parte reales y obtenemos que

Al igualar las parte imaginarias concluimos que

 

11 Expresa en función de y :

 

1 Binomio de Newton:

 

Aplicamos el binomio de Newton

Desarrollamos

Separamos la parte real y la parte imaginaria

 

2 Fórmula de Moivre:

 

Por otro lado sabemos que

Usando el resultado al que llegamos con el binomio de Newton, igualamos las parte reales y obtenemos que

Al igualar las parte imaginarias concluimos que

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗