Problemas de números complejos

1 Calcula k para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

cociente

2 Halla el valor de k para que el cociente cociente sea:

1Un número imaginario puro.

2Un número real.

3 Se considera el complejo Raíz de tres, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj.
Hallar el complejo obtenido después del giro.

4 Hallar las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 190°.

5 Determina el valor de a y b para que el cociente cociente sea igual a:

polar

6 ¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i?

7 Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).

8 La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.

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Ejercicio 1 resuelto

Calcula k para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

cociente

Para que el afijo (a, b), del complejo esté en la bisectriz del primer cuadrante tiene que cumplirse: a = b.

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador para realizar el cociente.

solución

Ejercicio 2 resuelto

Halla el valor de k para que el cociente cociente sea:

1Un número imaginario puro.

La parte real del número debe ser nula.

solución

2Un número real.

La parte imaginaria del número debe ser nula.

operaciones

Ejercicio 3 resuelto

Se considera el complejo Raíz de tres, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj.
Hallar el complejo obtenido después del giro.

Escribimos el número en forma polar y para obtener el giro multiplicamos por un complejo de módulo 1 y argumento 45º.

solución

Ejercicio 4 resuelto

Halla las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 190°.

Los vértices son los afijos de las raíces sextas de otro complejo z.

complejo
argumento
solución

Ejercicio 5 resuelto

Determina el valor de a y b para que el cociente cociente sea igual a: polar

solución

Ejercicio 6 resuelto

¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i?

Sabemos que 190° = i.

(2 + i) · 190° = (2 + i) · i = − 1 + 2i = (−1,2)

Ejercicio 7 resuelto

Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).

Escribimos el número en forma polar

(0, −2) = −2 i

Los vértices son los afijos de las raíces cuartas de otro complejo z.

solución
argumento
solución

Ejercicio 8 resuelto

La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.

z = a + b i = rα

z = a − b i = r−α

r + r = 10 flecha r = 5

a + a = 6 flecha a = 3

r = a2 + b2 

52 = 32 + b2        b = 4

r cos α + r cos (−α) = 6

5 cos α + 5 cos α = 6

cos α = 3/5

α = 53° 7' 48''        α = 306° 52' 11''

3 + 4 i = 553° 7' 48''

3 − 4 i = 5306° 52' 11''

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