Ejercicios y problemas de números complejos

1Halla el valor de k para que el cociente sea:

1Un número imaginario puro.

2Uno número real.

2Realiza las siguientes operaciones:

1( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i )

2( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i)

3

3Calcula k para que el número complejo que obtenemos al dividir esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

4Escribe en forma polar y trigonométrica:

1

2

3

4

5z = 2

6z = −2

7z = 2i

8z = −2i

5Escribe en forma binómica:

z = 2_120º

6Realiza las siguientes operaciones:

1

2

3

4

7Calcula , dando el resultado en forma polar.

8Resuelve la siguiente raíz y representa las soluciones.

9Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.

10Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces cúbicas.

11Calcular todas las raíces de la ecuación: x⁵ + 32 = 0

12Calcular todas las raíces de la ecuación: x⁶ + 1 = 0

13Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.

14Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:

14 + 4i

2−2 + 2i

15Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

16Determina el valor de a y b para que el cociente sea igual a:

17Expresa en función de cos α y sen α:

cos 3α y sen 3α

18Expresa en función de cos α y sen α:

cos 5α y sen 5α

19Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i.

20Se considera el complejo 2 + 2 i, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Hallar el complejo obtenido después del giro.

21Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).

22Halla las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 1_90°.

23La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

1

Halla el valor de k para que el cociente sea:

1Un número imaginario puro.

2Un número real.

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

2

 Realiza las siguientes operaciones:

1( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

2( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6 i² = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

3

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

3

Calcula k para que el número complejo que obtenemos al dividir esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

Para que el afijo, (a, b), del complejo esté en la bisectriz del primer cuadrante, tiene que cumplirse: a = b.

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

4

Escribe en forma polar y trigonométrica:

1

z = 2_60º

z = 2 · (cos 60º + i sen 60º)

2

z = 2_120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

3

z = 2_240º

z = 2 · (cos 240º + i sen 240º)

4

z = 2_300º

z = 2 · (cos 300º + i sen 300º)

5z = 2

z = 2_0º

z = 2 · (cos 0º + i sen 0º)

6z = −2

z = 2_180º

z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)

7z = 2i

z = 2_90º

z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)

8z = −2i

z = 2_270º

z = 2 · (cos 270º + i sen 270º)

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

5

Escribe en forma binómica:

z = 2_120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

6

Realiza las siguientes operaciones:

1

2

3

4

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

7

Calcula , dando el resultado en forma polar.

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

8

Resuelve la siguiente raíz y representa las soluciones.

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

9

Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

10

Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces cúbicas.

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

11

Calcular todas las raíces de la ecuación: x⁵ + 32 = 0

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

12

Calcular todas las raíces de la ecuación: x⁶ + 1 = 0

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

13

Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

14

Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:

14 + 4i

2−2 + 2i

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

15

Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

16

Determina el valor de a y b para que el cociente sea igual a

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

17

Expresa en función de cos α y sen α:

cos 3α y sen 3α

Binomio de Newton

Fórmula de Moivre

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

18

Expresa en función de cos α y sen α:

cos 5α y sen 5α

Binomio de Newton

Fórmula de Moivre

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

19

Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i.

(2 + i) · 1_90° = (2 + i) · i = − 1 + 2i = (−1,2)

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

20

Se considera el complejo 2 + 2 i, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Hallar el complejo obtenido después del giro.

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

21

Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).

(0, −2) = −2 i = 2_270°

Los vértices son los afijos de las raíces cuartas de otro complejo z.

(2_270°)⁴ = 16_1080º = 16_{3 · 360°} = 16_0°

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

22

Halla las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 1_90°.

Los vértices son los afijos de las raíces sextas de otro complejo z.

z = (1_90°)⁶ = 1_540° = 1_180°

Ejercicios y problemas resueltos de números complejos

23

La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.

z = a + b i = r_α

z = a − b i = r_−α

r + r = 10 r = 5

a + a = 6 a = 3

5² = 3² + b²        b=4

r cos α + r cos (−α) = 6

5 cos α + 5 cos α = 6

cos α = 3/5

α = 53° 7' 48''           α = 306° 52' 11''

3 + 4 i = 5_{53° 7' 48''}

3 − 4 i = 5_{306° 52' 11''}