Unidad imaginaria

Se llama así al número y se designa por la letra i.

Número complejo

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por .

Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.

Los complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representación gráfica de los números complejos

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario.

El punto (a,b), se llama su afijo,

Potencias de la unidad imaginaria

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

Suma y diferencia de números complejos

( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Producto de números complejos

( a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i

Cociente de números complejos

Números complejos en forma polar y trigonométrica

Módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

|z| = r       arg(z) =          z = r_α

.

Binómica	z = a + bi
Polar	z = rα
trigonométrica	z = r (cos α + i sen α)

Números complejos iguales, conjugados y opuestos

Iguales

Conjugados

Opuestos

Producto de complejos en forma polar

Producto por un complejo de módulo 1

Al multiplicar un número complejo z = r_α por 1_β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

r_α · 1_β = r_{α + β}

Cociente de complejos en forma polar

Potencia de complejos en forma polar

Fórmula de Moivre

Raíz n-ésima de complejos en forma polar

k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)