Números complejos. Resumen

Unidad imaginaria

Se llama así al número i y se designa por la letra i.

i

Número complejo

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por complejo.

complejos

Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.

Los complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representación gráfica de los números complejos

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario.

El punto (a,b), se llama su afijo,

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

Suma y diferencia de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Producto de números complejos

(a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i

Cociente de números complejos

cociente

Números complejos en forma polar y trigonométrica

Módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

complejo

módulo

Argumento de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

|z| = r       arg(z) = alfa          z = rα

complejos.

relaciones

Binómica z = a + bi
Polar z = rα
trigonométrica z = r (cos α + i sen α)

Números complejos iguales, conjugados y opuestos

gráfica

Iguales

iguales

Conjugados

Conjugados

Opuestos

Opuestos

Producto de complejos en forma polar

producto


Producto por un complejo de módulo 1

Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

rα · 1β = rα + β


Cociente de complejos en forma polar

cociente


Potencia de complejos en forma polar

potencia

Fórmula de Moivre

Fórmula de Moivre

Raíz n-ésima de complejos en forma polar

módulo

argumento

k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)


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