Más allá de suma, resta, multiplicación y división

El cálculo es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de la variación y del movimiento. Permite observar y describir la realidad en términos dinámicos y se emplea en diversos campos tales como la física, la ingeniería, la economía o la estadística.

Su desarrollo como disciplina moderna surgió en el s. XVII y se atribuye a dos grandes matemáticos: Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Hasta entonces, las matemáticas tradicionales aportaban una visión estática de los diferentes elementos de la realidad a través de operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división): la innovación del cálculo radica en la incorporación de operaciones que permiten estudiar el movimiento o crecimiento de un elemento en el que actúan fuerzas de aceleración. Por ejemplo, sirve como herramienta para conocer y predecir las órbitas de los planetas y de los satélites, las corrientes marinas, la dinámica de la atmósfera o incluso el comportamiento de factores económicos, sociológicos o psicológicos.

El estudio de estos cambios o movimientos se puede abordar desde diferentes perspectivas. Podemos precisar cómo un elemento cambia de valor a lo largo del tiempo en función de las variables que intervienen en este, o bien hallar en función de qué variables cambia cuando lo que conocemos es el movimiento que realiza.

De esta manera surgen las dos ramas principales del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral.

El cálculo diferencial determina el cambio del objeto según sus variables a través de derivadas. La derivada de una función es la pendiente de una línea en una gráfica, y se halla calculando la aceleración del elemento sobre un cierto recorrido.

Por otra parte, el cálculo integral supone el proceso contrario: nos permite calcular un cierto valor cuando conocemos su aceleración. Es decir, mientras que el cálculo diferencial se centra en una curva, el cálculo integral lo hace en el área o el espacio en que esta se encuentra.

Los conceptos básicos para el cálculo

Variable y constante: una variable es una cantidad susceptible a un número indefinido de cambios generados por una serie de condiciones, mientras que una constante tiene un valor fijo que no cambia.

Función: cuando el valor de un elemento depende de otro y un cambio del segundo supone un cambio también en el primero, a este se le llama función del segundo. El valor que suscita el cambio del otro recibe el nombre de variable.

Incremento: la diferencia entre dos valores de los que toma una variable se conoce como el incremento de esta. Esta diferencia puede ser tanto positiva como negativa.

Límite: Si una variable, al cambiar de valor según una serie de factores, se acerca a un valor constante sin llegar a ser igual a este, el valor constante se denomina límite de la variable.

Función derivada: la derivada de una función nos indica la velocidad a la que esta varía en un determinado punto, y se calcula a partir del límite de la función. Digamos que si y es una función de x, el límite del ratio de un incremento de y a un correspondiente incremento de x a medida que x tiende a cero se denomina la derivada de y con respecto a x.

Integración: hallar una función conociendo su derivada. La integración puede ser definida o indefinida.

El cálculo es una materia muy compleja y avanzada, pero también muy potente. Aunque pueda dar la impresión de ser poco productiva desde un acercamiento teórico, la realidad es completamente la contraria: tiene numerosas aplicaciones en diversos campos.

En primer lugar, el cálculo diferencial sirve para, por ejemplo, calcular qué cantidad de dinero genera una cuenta de ahorros o a qué velocidad crece o disminuye una población. Una de sus principales aplicaciones es la de conocer y estudiar los fenómenos de la naturaleza, desde a qué velocidad cae una roca hasta la velocidad a la que se enfría o se calienta un objeto. También supone una herramienta muy útil para la optimización en cualquier campo (finanzas y economía en general, fabricación de productos, construcción…). El cálculo integral también está presente en áreas muy diversas. En ingeniería, por ejemplo, sirve para calcular estructuras y áreas; en electrónica, para calcular corrientes o tiempos de carga y descarga de corrientes; en el estudio del medio ambiente, se puede emplear para el conteo de organismos o para estudiar el crecimiento de bacterias y de especies animales. En otro tipo de áreas, como la administración y la contabilidad, nos puede ayudar a predecir los beneficios y las pérdidas de un proyecto.