Producto mixto

El producto mixto de los vectores vector u, v y w es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.

El producto mixto se representa por [vector u, v, w].

producto mixto

El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

producto mixto

Ejemplos:

Calcular el producto mixto de los vectores:

vectores

producto vectorial

producto mixto

Volumen del paralelepípedo

El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.

Ejemplo

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:

vectores

volumen

Volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

volumen del tetraedro

Ejemplo

Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

vector

vector

vector

volumen

producto mixto

solución

Propiedades del producto mixto

1. El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si éstos se trasponen.

propiedad

propiedad

2. Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto mixto vale 0.


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