q Producto escalar II - Vitutor

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

producto

Expresión analítica del producto escalar

Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo:

Hallar el producto escalar de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).

(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

Expresión analítica del módulo de un vector

módulo don vector

Ejemplo:

Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas vector u = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

módulo

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

ángulo de dos vectores

Ejemplo:

Determinar el ángulo que forman los vectores vector u = (1, 2, −3) y v = (−2, 4, 1).

producto escalar

producto escalar

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.

ortogonalidad de dos vectores

Ejemplo:

Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).

vectores ortogonales

vectores ortogonales

solución

Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa

propiedad

2. Asociativa

propiedad

3. Distributiva

propiedad

4. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

propiedad

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

vector

PROYECCIÓN

PROYECCIÓN

OA' es la proyección del vector vector u sobre v, que lo denotamos como: proyección.

proyección

Ejercicio:

Dados los vectores vector y vector hallar:

1 Los módulos de vector u y v·

módulo

módulo

2 El producto escalar de vector u y v·

producto escalar

3 El ángulo que forman.

producto escalar

proyección

4 La proyección del vector vector u sobre v.

proyección

5 La proyección del vector v sobre vector u.

proyección

6 El valor de m para que los vectores vector y vector sean ortogonales.

m

Cosenos directores

En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector vector u = (x, y, z), a los cosenos de los ángulos que forma el vector vector u con los vectores de la base.

coseno director

coseno director

coseno director

Cosenos directores

Ejemplo:

Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).

coseno director

coseno director

coseno director

Cosenos directores


 

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