Producto escalar
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Expresión analítica del producto escalar
Ejemplo
Hallar el producto escalar de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5
Expresión analítica del módulo de un vector
Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas 
= (−3, 2, 5) en una base ortonormal.
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Determinar el ángulo que forman los vectores = (1, 2, −3) y 
= (−2, 4, 1).
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.
Ejemplo
Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).
Propiedades del producto escalar
1Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4
El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
Interpretación geométrica del producto escalar
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
OA' es la proyección del vector sobre v, que lo denotamos como: 
.
Ejercicio
Dados los vectores 
y 
hallar:
1. Los módulos de y ·
2. El producto escalar de y ·
3. El ángulo que forman.
4. La proyección del vector sobre .
5. La proyección del vector sobre .
6. El valor de m para que los vectores y 
sean ortogonales.
Cosenos directores
En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector = (x, y, z), a los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base.
Ejemplo
Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).
