Problemas de vectores

1Expresa el vector vector m = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: vector u = (1, 0, 1), v = (1, 1, 0) y w = (0, 1, 1).

2Siendo vector u = (1, 0, 1), v = (1, 1, 0) y w = (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector vector m = (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores.

3Dados los vectores vector u = (1, 2, 3), v = (2, 1, 0) y w = (−1, −1, 0), demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto de dicha base.

4Dados los vectores: (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).

1Demostrar que forman una base.

2Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base.

5Determinar el valor del parámetro k para que los vectores vector x = kvector u − 2v + 3w, y = −vector u + kv + w sean:

1Ortogonales

2Paralelos

6Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:

1Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.

2Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.

7Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2).

8Hallar un vector perpendicular a vector y vector, y que sea unitario.

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Ejercicio 1 resuelto

Expresa el vector vector m = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: vector u = (1, 0, 1), v = (1, 1, 0) y w = (0, 1, 1).

combinación lineal

combinación lineal

combinación lineal

sistema de ecuaciones

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

sistema de ecuaciones

solución a los sistemas

solución

Ejercicio 2 resuelto

Siendo vector u = (1, 0, 1), v = (1, 1, 0) y w = (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector vector m = (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores.

combinación lineal

combinación lineal

igualdad

sistema de ecuaciones

El sistema admite únicamente la solución trivial:

solución al sistema

Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes.

combinación lineal

combinación lineal

combinación lineal

sistema de ecuaciones

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

sistema de ecuaciones

solución a los sistemas

solución

Ejercicio 3 resuelto

Dados los vectores vector u = (1, 2, 3), v = (2, 1, 0) y w = (−1, −1, 0), demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto de dicha base.

combinación lineal

combinación lineal

igualdad

sistema de ecuaciones

El sistema homogéneo sólo admite la solución trivial:

solución al sistema

Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes y forman una base.

combinación lineal

combinación lineal

sistema de ecuaciones

Las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto a la base son:solución.

Ejercicio 4 resuelto

Dados los vectores: (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).

Soluciones:

1Demostrar que forman una base.

Los tres vectores forman una base si son linealmente independientes.

combinación lineal

combinación lineal

sistema de ecuaciones

En el sistema homogéneo el rango coincide con el número de incógnitas, por tanto tan sólo admite la solución trivial:

coeficientes

Los vectores son linealmente independientes y, por tanto, forma una base.

2Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base.

Las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de la base son:

combinación lineal

comercio lineal

sistema de ecuaciones

sistemas

coordenadas

combinación lineal

coordenadas

combinación lineal

coordenadas

Ejercicio 5 resuelto

Determinar el valor del parámetro k para que los vectores vector x = kvector u − 2v + 3w, y = −vector u + kv + w sean:

Soluciones:

1Ortogonales

Para que los vectores sean ortogonales su producto escalar tiene que ser igual a cero.

producto escalar

producto escalar

ecuación

2Paralelos

Para qué dos vectores sean paralelos, sus componentes tienen que ser proporcionales.

solución

El sistema no admite solución.

Ejercicio 6 resuelto

Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:

Soluciones:

1Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.

Si A, B y C están alineados los vectores vector y vector tienen la misma dirección, por lo que son linealmente dependientes y tienen sus componentes proporcionales.

componente de un vector

componentes de un vector

operaciones

2Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.

El módulo del producto vectorial de los vectores vector y vector es igual al área del paralelogramo construido sobre vector y vector.

producto vectorial

área

operaciones

solución

solución

Ejercicio 7 resuelto

Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2).

producto vectorial

módulo

vector unitario

vector unitario

Ejercicio 8 resuelto

Hallar un vector perpendicular a vector y vector, y que sea unitario.

producto vectorial

módulo del producto vectorial

vector unitario

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