Dependencia e independencia lineal. Bases

Combinación lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

combinación lineal

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

vector

Esta combinación lineal es única.

producto

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Vectores linealmente dependientes

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

vectores

vectores

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3. Dos vectores libres del plano vector u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

vectores

vectores

Vectores linealmente dependientes

Ejemplo:

Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores u, V. y W.. escribir vector u como combinación lineal de v yw, siendo k el valor calculado.

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

determinante

ecuación

solución a la ecuación

solución a la ecuación

combinación lineal

sistema de ecuaciones

solución

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Vectores linealmente dependientes

a1 = a2 = ··· = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Vectores linealmente dependientes

Ejemplo:

Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:

vector u = (2, 3, 1), v = (1, 0, 1), w = (0, 3, −1)

a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)

sistema de ecuaciones

r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado.

El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

Base

Tres vectores vector u, v y w con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.

vectot

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

coordenadas

Base ortogonal

Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.

Base ortonormal

Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.

BASE CANÓNICA

I, J, K

módulo

perpendiculares

Esta base formada por los vectores i, j y k se denomina base canónica.

Ejemplo:

¿Para qué valores de a los vectores u, vy w forman una base?

determinante

operaciones

solución

Para a ≠ 1, los vectores forman una base.


 

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