1 Obtener la ecuación continua de la recta que contiene al punto y que es paralela a la recta parametrizada dada por

 

 

De la parametrización obtenemos que un vector director es .
Al contener al punto , la ecuación continua de la recta es

Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por el punto y es paralela a los planos

 

 

Obtenemos los vectores normales a los planos

 

      y     

 

El vector director de la recta debe ser perpendicular a estos, por lo que calculamos su producto cruz

 

 

Y así, teniendo un vector director    y el punto P(2, 0, 0) por el que pasa la recta, su ecuación continua es

 

 

Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto y lleva la dirección del vector .

 

Teniendo un punto por el que pasa y el vector director, se obtiene de manera directa la ecuación paramétrica de la recta

 

 

Simplificando llegamos a:

 

Hallar una ecuación continua de la recta que pasa por el punto y paralela a los planos:

 

 

 

Obtenemos los vectores normales a los planos,

 

      y     

 

El vector director de la recta es perpendicular a estos, por lo que calculamos su producto cruz

 

 

Y así, teniendo el vector director    y el punto P(2, -1, 5) por el que pasa la recta, su ecuación continua es

 

 

Determinar la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto y corta a las rectas:

 

               

 

 

Para obtener la ecuación de la recta notaremos que ésta es la intersección de los dos planos que pasan por y contienen a las rectas y .

 

1 Obtenemos la ecuación del plano que contiene a y .

 

Un vector generador de este plano será el vector director de la recta .

Resolviendo     obtenemos que es un punto sobre . Entonces el otro vector generador está dado por

 

 

Un punto en el plano es:

Los vectores generadores son:

 

 

Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

 

           

 

2 Obtenemos la ecuación del plano que contiene a y .

 

Un vector generador de este plano será el vector director de la recta .

Resolviendo     obtenemos que es un punto sobre . Entonces el otro vector generador está dado por

 

 

Un punto en el plano es:

Los vectores generadores son:

Por lo tanto la ecuación del plano está dada por el siguiente determinante

         

 

3 Obtenemos la ecuación implícita de la recta

 

Usamos las ecuaciones de los planos anteriormente obtenidas,

 

 

Hallar los puntos en la recta

 

Dados los puntos y , hallar los puntos de la recta que tienen al menos una coordenada nula.

 

 

1 Obtenemos la ecuación de la recta Al conocer puntos en la recta, calculamos la diferencia para encontrar un vector director

 

Con el vector director y tomando uno de los puntos que están sobre la recta (en este caso tomaremos ), su ecuación parametrizada es

 

 

 

2 Igualar a 0 cada coordenada de la ecuación de la recta

 

  • Si la primera coordenada es cero,

      entonces     
Y el punto resultante es

 

  • Si la segunda coordenada es cero,

     entonces   
Y el punto resultante es

 

  • Si la tercera coordenada es cero,

   entonces   
Y el punto resultante es

 

Finalmente, pudimos encontrar puntos donde al menos una de las coordenadas era nula: y .

 

Hallar las coordenadas del punto en común del plano y la recta determinada por el punto y el vector

 

 

1 Obtenemos la ecuación de la recta descrita

 

2 Sustituimos en la ecuación del plano

 

Usando las coordenadas paramétricas de la recta sustituiremos en la ecuación del plano

 

 

Desarrollamos

 

 

Sumamos términos similares y despejamos

 

 

3 Calculamos las coordenadas usando el valor de

 

 

Las coordenadas del punto en común son

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗