Problemas de posiciones relativas

1Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (1, 0, 2) y se apoya en las rectas:

rectas

2Estudiar para los diferentes valores de a la posición relativa de los siguientes planos:

planos

3Estudiar las posiciones relativas del plano plano y la recta recta según los valores del parámetro a.

4Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta rectal con el plano plano y es paralelo a las rectas:

directarecta

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Ejercicio 1 resuelto

Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (1, 0, 2) y se apoya en las rectas:

rectas

Obtenemos un punto genérico de la recta r.

punto genérico

Obtenemos un punto genérico de la recta s.

punto genérico

Calculamos la ecuación de la recta que pasa por P y Q.

rectas

Como la recta pasa por el punto (1, 0, 2), tendremos:

ecuación de la fecha

sistema

solución al sistema

Sustituimos estos dos valores en la ecuación de la recta:

ecuación de la recta

Operamos y simplificamos.

ecuación de la recta

Ejercicio 2 resuelto

Estudiar para los diferentes valores de a la posición relativa de los siguientes planos:

planos

matrices

En el determinante de la matriz de los coeficientes sumamos a la primera fila las otras dos y posteriormente sacamos factor común.

determinante

Restamos a cada fila la primera:

determinante

estudio

matrices

Los tres planos se cortan en un punto.

estudio

Las tres ecuaciones son idénticas, los tres planos son coincidentes.

estudio

matrices

determinante

determinante

Como no hay ningún par de planos paralelos, los tres planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática.

Ejercicio 3 resuelto

Estudiar las posiciones relativas del plano plano y la recta recta según los valores del parámetro a.

sistema

matrices

determinante

estudio

rangos

La recta corta al plano en un solo punto.

estudio

matrices

determinante

determinante

La recta está contenida en el plano.

estudio

matrices

determinante

determinante

La recta es paralela al plano.

Ejercicio 4 resuelto

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta rectal con el plano plano y es paralelo a las rectas:

directarecta

Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman un sistema, cuya solución es el punto de intersección.

sistema

El plano viene determinado por el el punto de intersección y los vectores directores de las rectas paralelas al plano.

determinación lineal

solución

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