Posiciones relativas de tres planos

Dados los planos:

sistema

Y sean:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de los tres planos vienen dada por la siguiente tabla:

r r'   Posición
3 3   1. Planos secantes en un punto
2 3
 
 
proporción
2.1 Planos secantes dos a dos.
 
2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante.
2 2
 
 
proporción
3.1 Planos secantes y distintos.
 
3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.
1 2
 
 
proporción
4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.
 
4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.
1 1   5. Planos coincidentes.

Caso 1: Planos secantes en un punto

r=3, r'=3

Secantes


Caso 2.1: Planos secantes dos a dos

r = 2, r' = 3

Los tres planos forman una superficie prismática.

Prismáticas


Caso 2.2: Dos planos paralelos y el tercero secante

r = 2, r' = 3

Dos filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales.

Dos planos paralelos cortados por otro


Caso 3.1: Planos secantes y distintos

r = 2, r' = 2

Planos secantes y distintos


Caso 3.2: Dos planos coincidentes y uno secante

r = 2, r' = 2

Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

Dos coincidentes, uno secante


Caso 4.1: Planos paralelos y distintos dos a dos

r = 1, r' = 2

Planos paralelos


Caso 4.2: Planos paralelos y dos coincidentes

r = 1, r' = 2

Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

Dos coincidente y uno paralelo


Caso 5: Planos coincidentes

r = 1, r' = 1

Planos coincidentes


Ejemplos

Hallar la posición relativa de los planos:

1planos

sistema de ecuaciones

rango

rango

Los tres planos son secantes dos a dos y forman una superficie prismática.


2planos

sistema de ecuaciones

rango

rango

Los tres planos se cortan en un punto.


3planos

sistema de ecuaciones

rango

rango

proporción

El segundo y tercer plano son coincidentes y el primero es secante a ellos, por tanto los tres planos se cortan en una recta.


4planos

sistema de ecuaciones

rango

rango

proporción

El primer y segundo plano son coincidentes y el tercero es paralelo a ellos.



 

Tema
Ejercicios
Sitio
Compartir: