Posiciones relativas de una recta y un plano

Caso 1: La recta viene definida por dos planos secantes

Sea la recta: recta

Y el plano plano.

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

sistema

Si:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de la recta y el plano vienen dada por la siguiente tabla:

Posición r r'
Recta contenida en el plano 2 2
Recta y plano paralelos 2 3
Recta y plano secantes 3 3

Caso 2: La recta viene definida por un punto y un vector

Sea una recta definida por el punto A y el vector vector u. y un plano cuyo rector normal es vector normal. Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

Posición producto escalar A
Recta contenida en el plano = 0 pertenece π
Recta y plano paralelos = 0 no pertenece π
Recta y plano secantes ≠ 0  

Recta contenida en el planoRecta contenida en el plano

Recta y plano paralelosrecta contenida en el plano

Recta y plano secantesRecta y plano secantes

Ejemplos

Hallar la posición relativa de la recta y el plano:

1. recta y plano

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

sistema de ecuaciones

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

rango

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

rango

Comparamos los rangos

La recta y el plano se cortan en un punto.


2. recta y plano

si adecuaciones

rango

rango

La recta está contenida en el plano.


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